最終更新: 2026-07-02

双曲線の方程式

双曲線とは、2 つの定点（焦点）までの距離の差が一定であるようなすべての点の集合です。中心 $(h, k)$ の横型双曲線は次の標準形で表されます。

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

双曲線を楕円から分けるのはこのマイナス符号です。この符号のために、左右に開く 2 本のつながっていない枝ができ、それぞれが一対の直線である漸近線へ向かって伸びていきます。この計算では、半横軸 $a$、半共役軸 $b$、中心 $(h, k)$ から、焦点距離、頂点、焦点、離心率、漸近線の傾きを求めます。

頂点・焦点・焦点距離

頂点は 2 本の枝が最も近づく 2 点で、中心から距離 $a$ の位置、横軸上にあります。

$V = (h \pm a,\ k)$

焦点はさらに外側、中心から距離 $c$ の位置にあります。

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

$b^2 > 0$ なので、常に $c > a$ となります。これは楕円の関係式 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ とは逆で、双曲線では焦点が頂点の内側ではなく外側にあります。

漸近線と離心率

中心から遠ざかると、各枝は中心を通り傾き $\pm b/a$ の 2 本の直線に近づきます。

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

手早く描くには、中心 $(h, k)$ を中心とする幅 $2a$・高さ $2b$ の基準となる長方形を描き、その対角線を延長するとよいです。

離心率は枝の開き具合を表します。

$e = \frac{c}{a}$

$c > a$ なので双曲線では常に $e > 1$ です。（楕円は $0 \le e < 1$、放物線はちょうど $e = 1$ です。）

計算例

問題: 双曲線 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ を調べる。

ステップ 1 — 軸を読み取る: $a^2 = 9$、$b^2 = 16$ より $a = 3$、$b = 4$。中心は $(0, 0)$。

ステップ 2 — 頂点: $(\pm a, 0) = (3, 0)$ と $(-3, 0)$。

ステップ 3 — 焦点距離:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

よって焦点は $(5, 0)$ と $(-5, 0)$。

ステップ 4 — 離心率:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1.667$

ステップ 5 — 漸近線: 傾き $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$ より $y = \pm \tfrac{4}{3}x$。

したがってこの双曲線は、頂点 $(\pm 3, 0)$、焦点 $(\pm 5, 0)$、離心率 $5/3$、漸近線 $y = \pm\tfrac{4}{3}x$ をもちます。

半通径

有用な確認点として、焦点の真上での枝の高さがあります。方程式に $x = c$ を代入すると $y = \pm b^2/a$ となり、これを半通径と呼びます。上の例では $16/3 \approx 5.33$ で、グラフは $(5, \pm 16/3)$ を通ります。焦点に達する時点ですでに枝がかなり高くなっているのはこのためです。

横軸と共役軸の違い

横軸（主軸）は 2 つの頂点を結び、焦点を通る軸で、その半分の長さが $a$ です。共役軸はこれに垂直で中心を通る軸で、その半分の長さが $b$ です。楕円とは異なり、$a > b$ である必要はありません。$a$ と $b$ のどちらが大きくても枝は横軸を横切ります。$a = b$ のとき漸近線は互いに垂直な直線 $y = \pm(x - h) + k$ となり、この双曲線は直角双曲線（等辺双曲線）と呼ばれ、離心率はちょうど $\sqrt{2}$ になります。