最終更新: 2026-07-01

この計算でわかること

この計算では、正方行列の行列式を求めます。行列式は、その行列が空間をどれだけ拡大・縮小し、向きを反転させるかを表す一つの数です。2×2か3×3を選んで成分を入力すると、行列式と手順が更新されます。

行列 A の行列式は $\det A$ または $|A|$ と書きます。

2×2の行列式

2×2行列では、行列式は主対角線の積から反対角線の積を引いたものです。

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

計算例（2×2）

行列 [[1, 2], [3, 4]] を考えます。

$\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

符号が負なので、この変換は向きを反転させ、絶対値2は面積を2倍にすることを意味します。

3×3の行列式（余因子展開）

3×3行列では第1行に沿って展開します。第1行の各成分に、その行と列を除いて残る2×2小行列の行列式を掛け、+ − + の符号を交互に付けます。

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$$

ここで小行列式は次のとおりです。

$$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$$

計算例（3×3）

行列 [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]] を考えます。

$M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54$

$M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18$

$M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36$

第1行の成分と交互の符号で組み合わせます。

$\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306$

サラスの公式（3×3の近道）

3×3行列に限れば、サラスの公式という別解があります。第1・2列を行列の右にもう一度書き写し、左上から右下への対角線の積3つを足し、右上から左下への対角線の積3つを引きます。

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

これは余因子展開と同じ答えになります。手計算では速いものの、3×3より大きい行列には使えないため、最初に学ぶのは余因子展開です。

行列式が0のとき

行列式が0なら、その行列は特異行列です。

• 行（および列）が一次従属である。
• 変換が空間を直線や平面につぶし、次元を一つ失う。
• 逆行列を持たない。
• 係数行列が特異な連立一次方程式 Ax = b は、解を持たないか無数の解を持つ。

例えば [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] は、各行が等差的に変化して一次従属になるため、行列式は0です。

幾何学的な意味

行列式は符号付きの拡大率を表します。

• 2×2: 行列式は2本の列ベクトルが張る平行四辺形の符号付き面積に等しい。行列式が5なら面積は5倍、−5なら面積が5倍で向きも反転する。
• 3×3: 行列式は3本の列ベクトルが張る平行六面体の符号付き体積に等しい。
• 絶対値が1なら面積や体積が保たれ（回転や鏡映）、0なら図形が面積・体積0につぶれる。

便利な性質

• $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$ — 積の行列式は行列式の積。
• $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$ — 転置しても行列式は変わらない。
• 2行を入れ替えると行列式の符号が反転する。
• ある行をスカラー $k$ 倍すると行列式が $k$ 倍になる。
• 三角行列の行列式は対角成分の積に等しい。

よくある質問 (FAQ)

行列式とは何ですか？

行列式は正方行列から計算される一つの数で、その行列が表す線形変換の性質を要約します。絶対値は面積（2×2）や体積（3×3）の拡大率を、符号は向きが保たれるか反転するかを表します。行列式が0なら、その行列は特異行列で逆行列を持ちません。

行列式が0だと何を意味しますか？

行列式が0の行列は特異行列です。行（または列）が一次従属で、変換が空間を低い次元へつぶしてしまいます。特異行列は逆行列を持たず、係数行列が特異な連立一次方程式は解を持たないか、無数の解を持ちます。

余因子展開とサラスの公式の違いは何ですか？

どちらも同じ3×3の行列式を与えます。余因子展開は第1行の各成分に2×2小行列の行列式を符号を交互に付けて掛けるもので、任意のサイズに一般化できます。サラスの公式は左上から右下への対角線の積3つの和から、右上から左下への対角線の積3つを引く近道で、3×3でのみ使えます。この計算では、より大きな行列にも通用する余因子展開で手順を示します。

行列式の幾何学的な意味は何ですか？

2×2行列では、行列式は2本の列ベクトルが張る平行四辺形の符号付き面積に等しくなります。3×3行列では、3本の列ベクトルが張る平行六面体の符号付き体積に等しくなります。符号が負なら変換は向きを反転（鏡映）し、絶対値が1なら面積や体積が保たれます。