作成日: 2026年7月20日 21:33

負の二項分布ツール

入力

成功回数	3
成功確率	0.4
失敗回数	4

グラフ

PMF の値 0

負の二項分布ツール

r 回目の成功までに失敗がちょうど k 回起こる確率に加え、累積確率、平均、分散を負の二項分布で求めます。

パラメータ

成功回数

≥ 1

成功確率

0 – 1

失敗回数

値を入力すると計算結果が表示されます。

確率（ちょうど）

詳細

累積確率

標準偏差

期待される失敗回数

分散

確率

P(X = k) — r 回目の成功までに k 回失敗する確率

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k \\ &= \binom{ 4+3-1 }{ 4 } \, 0.4^{ 3 } (1-0.4)^{ 4 } \\ &= ? \end{aligned}

P(X ≤ k) — 累積確率

\begin{aligned} P(X \leq k) &= \sum_{i=0}^{k} \binom{i+r-1}{i} \, p^r (1-p)^i \\ &= ? \end{aligned}

平均（期待される失敗回数）

\begin{aligned} \mu &= \dfrac{r(1-p)}{p} \\ &= \dfrac{ 3(1-0.4) }{ 0.4 } \\ &= ? \end{aligned}

分散

\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{r(1-p)}{p^2} \\ &= \dfrac{ 3(1-0.4) }{ 0.4^2 } \\ &= ? \end{aligned}

分布

PMF の値 0

最終更新: 2026-07-02

負の二項分布

負の二項分布は、独立なベルヌーイ試行の列において、決められた成功回数に達するまでに起こる失敗回数をモデル化する離散確率分布です。各試行は共通の成功確率 p を持ち、互いに独立です。信頼性試験、営業・マーケティング分析、疫学、そして目標の成功回数がたまるまで続くあらゆる過程で用いられます。

数式

このツールは成功前の失敗回数という定義を用います。すなわち X は r 回目の成功より前に観測される失敗回数 k であり、X ≥ 0 です。確率質量関数（PMF）と累積分布関数（CDF）は次のとおりです。

P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \, p^{r} (1-p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{i + r - 1}{i} \, p^{r} (1-p)^{i}

この定義における X の平均と分散は次のとおりです。

\mu = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}

もう一つの定義では、X を r 回の成功を得るのに必要な総試行回数（X ≥ r）とします。この変数は k + r に等しく、平均は r/p になります。2 つの定義は同じ実験を表します。

計算例

ある品質検査官は、3 個の製品が合格した時点でバッチを受け入れます。各製品は確率 p = 0.40 で独立に合格します。3 個目が合格するより前に、ちょうど 4 個が不合格となる確率はいくらでしょうか。

r = 3、p = 0.40、k = 4 を用いると次のようになります。

P(X = 4) = \binom{4 + 3 - 1}{4} \times 0.40^{3} \times 0.60^{4} = 15 \times 0.064 \times 0.1296 = 0.1244

3 個目の合格より前にちょうど 4 個が不合格となる確率は**約 12.44 %**です。不合格が 4 個以下となる累積確率は次のとおりです。

P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{i+2}{i} \times 0.40^{3} \times 0.60^{i} = 0.5801

したがって不合格が 4 個以下となる確率は 58.01 % です。期待される不合格数は μ = 3 × 0.60 / 0.40 = 4.5、分散は σ² = 3 × 0.60 / 0.40² = 11.25、標準偏差は σ ≈ 3.35 です。

数式の導出

r 回目の成功より前にちょうど k 回の失敗が起こるには、次が必要です。

最後の試行が r 回目の成功であり、これは確率 p で起こります。
その前の k + r − 1 回の試行のうち、ちょうど k 回が失敗、r − 1 回が成功です。その並べ方は C(k+r−1, k) 通りあります。
これら k 回の失敗はそれぞれ確率 1−p、r − 1 回の成功はそれぞれ確率 p で起こります。最後の成功と合わせると、試行の結果は pʳ · (1−p)ᵏ に寄与します。

並べ方の数と結果の確率を掛け合わせると C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ となります。CDF は失敗回数 0 から k までの PMF の累積和です。

他の分布との関係

負の二項分布は幾何分布を一般化したものです。r = 1 とすると最初の成功前の失敗回数を数えることになり、P(X = k) = (1−p)ᵏ · p となります。同様に、負の二項確率変数は、同じ成功確率 p を持つ r 個の独立な幾何確率変数の和です。

これは二項分布の対をなします。二項分布は試行回数を固定して成功数を確率変数としますが、負の二項分布は成功回数を固定して失敗回数（または試行回数）を確率変数とします。成功回数 r が大きく p が 1 に近いとき、この分布はほぼ正規分布に近づきます。r が整数でなくてもよい場合、ガンマ関数を用いた同じ式が、過分散のカウントデータのモデル化に広く使われる関連分布を定義します。

実用例

品質管理：一定数の合格品が見つかるまでに検査する不良品の数のモデル化。
営業・マーケティング：一定数の成約に達するまでの失注件数の見積もり。
疫学・生態学：分散が平均を上回る過分散のカウントデータへの当てはめ（ポアソンモデルより適合が良い場合）。
信頼性工学：冗長システムが十分な稼働部品をそろえるまでに故障する部品数の期待値の算出。

よくある質問 (FAQ)

負の二項分布とは何ですか？

負の二項分布は、独立なベルヌーイ試行の列において、決められた回数 r の成功に達するまでに起こる失敗回数をモデル化する離散確率分布です。各試行の成功確率 p は共通です。例えば r = 3、p = 0.4 のとき、この分布は 3 回目の成功までに何回失敗が起こるかを表します。

試行回数を固定して成功数を数える二項分布とは異なり、負の二項分布は成功回数を固定し、それに到達するまでの試行数（または失敗数）を数えます。

このツールはどの定義を用いていますか？

このツールは r 回目の成功までの失敗回数 k を数えるため、k ≥ 0 で P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ となります。平均は r(1−p)/p、分散は r(1−p)/p² です。よくある別の定義では X を r 回の成功を得るのに必要な総試行回数とし、この変数は k + r に等しく、範囲は X ≥ r、平均は r/p になります。2 つの定義は同じ実験を表し、定数 r の分だけ異なります。

二項分布との違いは何ですか？

二項分布は試行回数 n を固定し、成功数を確率変数とします。負の二項分布はその逆で、成功回数 r を固定し、失敗回数（または試行回数）を確率変数とします。二項分布の停止規則は「n 回試行したら止める」ですが、負の二項分布は「r 回成功したら止める」です。どちらも各試行の成功確率 p と独立性の仮定を共有します。

幾何分布とはどのように関係しますか？

幾何分布は r = 1 の場合の負の二項分布、すなわち最初の成功までの失敗回数です。P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ に r = 1 を代入すると P(X = k) = (1−p)ᵏ · p となり、幾何分布の PMF に一致します。同じ p を持つ r 個の独立な幾何確率変数の和は、負の二項確率変数になります。

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