最終更新: 2026-07-02

部分分数分解

部分分数分解とは、1 つの有理関数を、もとの分母の因数を分母とするより簡単な分数の和に書き直す操作です。分子の次数が分母より低い真分数で、分母が相異なる 2 つの一次因数をもつ場合、分解は次の形になります。

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

この形にすると、積分・逆ラプラス変換・級数展開がはるかに容易になります。

被覆法（ヘヴィサイドの被覆法）

A と B を最も速く求める方法が被覆法です。

手順 1 — A を求める。 分母の因数 $(x - r_1)$ を隠し、残りを $x = r_1$ で評価します。

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

手順 2 — B を求める。 因数 $(x - r_2)$ を隠し、残りを $x = r_2$ で評価します。

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

なぜ被覆法が成り立つのか

分解の両辺に $(x - r_1)$ を掛けます。

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

ここで $x = r_1$ とすると、第 2 項は因数 $(x - r_1)$ を含むため 0 になり、$A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$ が直接得られます。$(x - r_2)$ について同じ議論をすれば B が分離できます。

計算例

$\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$ を分解します。

ここで $p = 3$、$q = -1$、$r_1 = 1$、$r_2 = -2$ です。

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

よって

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

検算： 共通分母でまとめると

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

便利な確認

分子 $p\,x + q$ に対して、2 つの係数は常に $A + B = p$ を満たします。まとめた分子の最高次の項をそろえると、A と B の和は分子の $x$ の係数に一致し、答えの簡単な検算になります。

相異なる解が必要な理由

$A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ という形は、2 つの異なる一次因数を前提としています。

分母	正しい形
$(x - r_1)(x - r_2)$、相異	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$、重解	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

被覆法の公式は $r_1 - r_2$ で割るため、解が一致するとゼロ除算になります。重因数には 2 つ目の形が必要で、このツールの対象外です。

積分での利用

最大の利点は微積分にあります。有理関数はそのままでは積分しにくいですが、各部分分数は直ちに積分できます。

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

したがって分解後は

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

応用

• 微積分における有理関数の積分。
• 微分方程式・制御理論での逆ラプラス変換。
• 組合せ論での級数展開や母関数。
• 信号処理での伝達関数の一次項への分解。

よくある質問 (FAQ)

部分分数分解とは何ですか？

部分分数分解とは、1 つの有理関数を、もとの分母の因数を分母とするより簡単な分数の和に書き直す操作です。相異なる 2 つの一次因数をもつ真分数 (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) の場合、分解は A/(x − r₁) + B/(x − r₂) となります。この形にすると、積分や逆ラプラス変換、級数展開がはるかに容易になります。

被覆法（カバーアップ法）で A と B を求めるには？

A を求めるには、分母の因数 (x − r₁) を隠し、残りを x = r₁ で評価します。もう一方の項 A·(x − r₁)/(x − r₁) はその因数を隠したときだけ残り、他の項は x = r₁ で消えるため、A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂) が直接得られます。同様に B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁) です。この方法なら連立方程式を立てて解く必要がありません。

なぜ 2 つの解は相異ならなければならないのですか？

A/(x − r₁) + B/(x − r₂) という形は、2 つの異なる一次因数を前提としています。r₁ = r₂ のとき分母は重因数 (x − r₁)² となり、正しい分解は A/(x − r₁) + B/(x − r₁)² の形になります。被覆法の公式は (r₁ − r₂) で割るため、解が一致するとゼロ除算となり、このツールでは相異なる解が必要です。

積分ではどのように使いますか？

有理関数はそのままでは積分しにくいですが、各部分分数 A/(x − r) は直ちに A·ln|x − r| + C と積分できます。したがって (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) を A/(x − r₁) + B/(x − r₂) に分解すれば、積分は A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C となります。これは微積分で有理関数を積分する際の定石です。