ホーム 数学 パスカルの三角形ツール 作成日: 2026年7月20日 21:33 パスカルの三角形ツール 入力 行数 N8列 k3 数学 パスカルの三角形ツール 指定した行数のパスカルの三角形を生成し、二項係数を直接読み取れます。三角形、任意の位置の値 C(n, k)、および行の総和 2ⁿ を最大 15 行まで返します。 入力 行数 N 1 – 15 頂点の 1 から数えて何行分を作るかを指定します。1 以上 15 以下の整数です。最下行の行番号は N − 1 になります。 列 k 0 – 14 最下行のどの値を読み取るかを指定します。左端を 0 として、0 から N − 1 まで動きます。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 パスカルの三角形 三角形の各行 パスカルの三角形の各行を、行 0 から行 N − 1 まで 1 行ずつ並べたものです。 選択した値 N = 8k = 3 値 C(n, k) \binom{n}{k} = \binom{ 8 - 1 }{ 3 } = \frac{(8-1)!}{ 3!\,((8-1)-3)!} = ? 行の総和 2ⁿ 最下行のすべての値を足した和で、2 の (N − 1) 乗に等しくなります。 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-07-02 定義 パスカルの三角形は、各要素が二項係数になっている三角形状の数の配列です。頂点は 1 つの 11（行 00）で、それ以降の各行は 11 で始まり 11 で終わります。行 nn には次の係数が並びます。 (n0),(n1),…,(nn)\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}(0n),(1n),…,(nn) これらはまさに (a+b)n(a + b)^n を展開したときに現れる数であり、そのためこの三角形は組合せ論と代数の交わる場所に位置しています。 作り方 内側の各要素は、真上にある 2 つの要素の和です。これがパスカルの法則です。 (nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}(kn)=(k−1n−1)+(kn−1) 両端の斜めの並びは常に 11（何も選ばない、またはすべて選ぶ方法はそれぞれ 1 通りなので (n0)=(nn)=1\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1）なので、頂点から始めて足し算だけで三角形全体を作れます。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 計算例 66 行を作り、最下行の列 k=2k = 2 の値を読み取ります。N=6N = 6 のとき、最下行の行番号は N−1=5N - 1 = 5 です。 1, 5, 10, 10, 5, 11,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 11, 5, 10, 10, 5, 1 k=2k = 2 の値は二項係数 (52)\binom{5}{2} です。 (52)=5!2! (5−2)!=1202⋅6=10\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10(25)=2!(5−2)!5!=2⋅6120=10 同じ値は、上の行（1,4,6,4,11, 4, 6, 4, 1）を使ってパスカルの法則からも得られます。 (52)=(41)+(42)=4+6=10\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10(25)=(14)+(24)=4+6=10 行の総和 行 nn の要素の和は常に 2 の累乗になります。 ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^nk=0∑n(kn)=2n これは二項定理で a=b=1a = b = 1 とおくと直ちに得られます。(1+1)n=∑k(nk)=2n(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n です。上の行では 1+5+10+10+5+1=32=251 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 となり、行を正しく写せたかを素早く確認できます。 規則性 この三角形にはよく知られた数列がいくつも隠れています。最も外側の斜めの並びはすべて 11、その内側は自然数 1,2,3,4,…1, 2, 3, 4, \ldots、3 番目は三角数 1,3,6,10,…1, 3, 6, 10, \ldots です。浅い斜め方向に沿って足していくとフィボナッチ数列が現れます。また各行は対称です。 (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}(kn)=(n−kn) なので、左から読んでも右から読んでも同じになります。kk 個を選ぶことは、残りの n−kn - k 個を選ぶことと同じだからです。 よくある質問 (FAQ)パスカルの三角形とは何ですか？パスカルの三角形は、各要素が二項係数になっている三角形の数の配列です。頂点は 1 つの 1（行 0）で、以降の各行は 1 で始まり 1 で終わります。行 n は C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) を並べたもので、これは (a + b)ⁿ を展開したときの係数と一致します。例えば行 4 は 1, 4, 6, 4, 1 で、(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ に対応します。 各要素はどのように作られますか？内側の要素はすべて、真上にある 2 つの要素の和です。これがパスカルの法則で、C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) と表されます。頂点の 1 から始めれば、階乗を計算しなくても足し算だけで三角形全体を作れます。両端が常に 1 なのは C(n, 0) = C(n, n) = 1 だからです。 なぜ各行の和が 2 の累乗になるのですか？行 n の要素の和は 2ⁿ になります。これは二項定理で a = b = 1 とおくと得られます。(1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ です。したがって行 0 の和は 1、行 1 は 2、行 2 は 4、行 10 は 1024 となります。行が正しく書けているかを素早く確認する方法として使えます。 パスカルの三角形にはどんな規則が隠れていますか？いくつもあります。最も外側の斜めの並びはすべて 1 で、その内側は 1, 2, 3, 4, …（自然数）を数え、3 番目の斜めの並びは三角数 1, 3, 6, 10, … を与えます。浅い斜め方向に沿って足していくとフィボナッチ数列が現れます。C(n, k) = C(n, n − k) なので各行は左右対称で、左から読んでも右から読んでも同じです。 次のおすすめ 二項定理による (a + b)ⁿ の展開 二項定理を用いて (a + b)ⁿ を展開します。各項の二項係数 C(n, k) と、指定した項の値 C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ を n ≤ 20 の範囲で求めます。 詳しく解説組み合わせの計算 — C(n, r) 組み合わせ C(n, r) を計算します。n 個から r 個を順番なしで選ぶ場合の数を n = 20 まで求められます。 詳しく解説階乗の計算（n!） n! を 0〜20 の範囲で計算します。20! = 2,432,902,008,176,640,000 まで正確な整数値を表示します。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 数列・級数の他の計算 パスカルの三角形ツールフィボナッチ数列の計算等差数列の計算等比数列の計算平均変化率計算ツール 数学の他のカテゴリ 代数 2×2 逆行列の計算2×2行列の固有値・固有ベクトルの計算2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）3元連立一次方程式の解（クラメールの公式）ガウスの消去法 計算ツール（3×3）シンプソン公式による数値積分の計算一次方程式の計算（ax + b = c）行列の積（2×2・3×3）行列式の計算（2×2・3×3）三次方程式の解指数関数的増加・減衰の計算絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の値の計算（ホーナー法）多項式の定積分多項式の微分計算台形公式による数値積分の計算二項定理による (a + b)ⁿ の展開二次方程式の解判別式の計算部分分数分解ツール複素数の計算平方完成の計算平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ひし形の面積ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の方程式の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算黄金比の計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算双曲線の計算楕円の焦点ツール楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール点と直線の距離二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算放物線の焦点・準線ツール立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算空間の2点間の距離の計算四角錐の体積・表面積の計算四角錐台の体積楕円体の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算半球の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線三角法 2つのベクトルのなす角の計算ベクトルの大きさの計算ベクトル射影の計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）極座標 ⇄ 直交座標の変換三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算内積の計算余弦定理の計算統計 2標本t検定Zスコア計算ツールZ値からのp値の計算オッズ比カイ二乗適合度検定カイ二乗独立性の検定パーセンタイルと四分位数の計算ピアソン相関係数の計算ツールベイズの定理一元配置分散分析ツール一標本t検定ツール加重平均の計算外れ値計算ツール（IQR法）幾何平均の計算記述統計量計算ツール共分散ツール誤差の範囲誤差率（百分率誤差）の計算効果量（コーエンのd）治療必要数（NNT）信頼区間の計算線形回帰相対リスク調和平均の計算必要サンプルサイズ（母比率）必要サンプルサイズ（母平均）標準誤差（平均）分散・標準偏差の計算平均・中央値・最頻値の計算平均絶対偏差の計算変動係数（CV）の計算母比率の差の検定（z検定）母比率の信頼区間の計算確率 カード確率の計算サイコロ確率の計算ポアソン分布の計算一様分布ツール階乗の計算（n!）幾何分布の計算指数分布ツール順列の計算 — P(n, r)条件付き確率・ベイズの定理計算ツール正規分布計算ツール組み合わせの計算 — C(n, r)二項確率の計算負の二項分布ツール離散確率変数の期待値の計算数論 n乗根の計算オイラーのφ関数の計算ローマ数字変換ツール合同算術の計算最大公約数・最小公倍数の計算指数表記（科学的記数法）変換器数値の丸め整除性チェッカー素因数分解の計算素数チェッカー対数の計算累乗の計算分数・パーセント パーセント計算比・比例の計算分数・小数・百分率の変換分数の四則演算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-07-02 定義 パスカルの三角形は、各要素が二項係数になっている三角形状の数の配列です。頂点は 1 つの 11（行 00）で、それ以降の各行は 11 で始まり 11 で終わります。行 nn には次の係数が並びます。 (n0),(n1),…,(nn)\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}(0n),(1n),…,(nn) これらはまさに (a+b)n(a + b)^n を展開したときに現れる数であり、そのためこの三角形は組合せ論と代数の交わる場所に位置しています。 作り方 内側の各要素は、真上にある 2 つの要素の和です。これがパスカルの法則です。 (nk)=(n−1k−1)+(n−1k)\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}(kn)=(k−1n−1)+(kn−1) 両端の斜めの並びは常に 11（何も選ばない、またはすべて選ぶ方法はそれぞれ 1 通りなので (n0)=(nn)=1\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1）なので、頂点から始めて足し算だけで三角形全体を作れます。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 計算例 66 行を作り、最下行の列 k=2k = 2 の値を読み取ります。N=6N = 6 のとき、最下行の行番号は N−1=5N - 1 = 5 です。 1, 5, 10, 10, 5, 11,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 11, 5, 10, 10, 5, 1 k=2k = 2 の値は二項係数 (52)\binom{5}{2} です。 (52)=5!2! (5−2)!=1202⋅6=10\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10(25)=2!(5−2)!5!=2⋅6120=10 同じ値は、上の行（1,4,6,4,11, 4, 6, 4, 1）を使ってパスカルの法則からも得られます。 (52)=(41)+(42)=4+6=10\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10(25)=(14)+(24)=4+6=10 行の総和 行 nn の要素の和は常に 2 の累乗になります。 ∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^nk=0∑n(kn)=2n これは二項定理で a=b=1a = b = 1 とおくと直ちに得られます。(1+1)n=∑k(nk)=2n(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n です。上の行では 1+5+10+10+5+1=32=251 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 となり、行を正しく写せたかを素早く確認できます。 規則性 この三角形にはよく知られた数列がいくつも隠れています。最も外側の斜めの並びはすべて 11、その内側は自然数 1,2,3,4,…1, 2, 3, 4, \ldots、3 番目は三角数 1,3,6,10,…1, 3, 6, 10, \ldots です。浅い斜め方向に沿って足していくとフィボナッチ数列が現れます。また各行は対称です。 (nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}(kn)=(n−kn) なので、左から読んでも右から読んでも同じになります。kk 個を選ぶことは、残りの n−kn - k 個を選ぶことと同じだからです。 よくある質問 (FAQ)パスカルの三角形とは何ですか？パスカルの三角形は、各要素が二項係数になっている三角形の数の配列です。頂点は 1 つの 1（行 0）で、以降の各行は 1 で始まり 1 で終わります。行 n は C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) を並べたもので、これは (a + b)ⁿ を展開したときの係数と一致します。例えば行 4 は 1, 4, 6, 4, 1 で、(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ に対応します。 各要素はどのように作られますか？内側の要素はすべて、真上にある 2 つの要素の和です。これがパスカルの法則で、C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) と表されます。頂点の 1 から始めれば、階乗を計算しなくても足し算だけで三角形全体を作れます。両端が常に 1 なのは C(n, 0) = C(n, n) = 1 だからです。 なぜ各行の和が 2 の累乗になるのですか？行 n の要素の和は 2ⁿ になります。これは二項定理で a = b = 1 とおくと得られます。(1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ です。したがって行 0 の和は 1、行 1 は 2、行 2 は 4、行 10 は 1024 となります。行が正しく書けているかを素早く確認する方法として使えます。 パスカルの三角形にはどんな規則が隠れていますか？いくつもあります。最も外側の斜めの並びはすべて 1 で、その内側は 1, 2, 3, 4, …（自然数）を数え、3 番目の斜めの並びは三角数 1, 3, 6, 10, … を与えます。浅い斜め方向に沿って足していくとフィボナッチ数列が現れます。C(n, k) = C(n, n − k) なので各行は左右対称で、左から読んでも右から読んでも同じです。
