最終更新: 2026-07-01

極座標と直交座標

平面上の点は、2つの同等な方法で表せます。直交座標（デカルト座標）(x, y) は、原点からの横方向と縦方向の距離を表します。極座標 (r, θ) は、原点からの直線距離 r と、点へ向かう線が x軸の正の向きとなす角度 θ で表します。この変換ツールは、両者を双方向に変換し、角度は度数法・弧度法のどちらでも扱えます。

どちらも同じ点を指しており、どちらが便利かは問題によります。直交座標は格子・画面・成分ごとの計算に向き、極座標は回転・円運動など、距離と向きで記述される対象に向いています。

極座標から直交座標へ

点から x軸へ垂線を下ろすと直角三角形ができます。動径 r が斜辺、角度 θ が原点側にあり、2つの辺がそのまま座標になります。

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

余弦が横の辺、正弦が縦の辺を与えるので、x と y の符号は θ の象限から自動的に決まります。

直交座標から極座標へ

逆向きでは三角形を逆にたどります。動径は斜辺で、三平方の定理から求まり、角度は点の向きです。

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

2引数の逆正接 atan2(y, x) を arctan(y/x) の代わりに使うのは、比 y/x だけでは点とその反対側の点を区別できない（同じ商になる）ためです。atan2 は x と y を別々に扱って符号を読み取り、−180°〜180°（弧度法なら −π〜π）の全範囲で正しい象限の角度を返します。また x = 0 でも定義され、arctan(y/x) のように0で割る心配がありません。

計算例

問題: 直交座標の点 (3, 4) を極座標に変換する。

動径は原点からの距離です。

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

角度は点の向きです。

θ = atan2(4, 3) ≈ 53.13°

したがって (3, 4) は (5, 53.13°) になります。逆変換でも一致を確認できます。x = 5·cos 53.13° ≈ 3、y = 5·sin 53.13° ≈ 4。

原点と角度の範囲

極座標が唯一あいまいになるのが原点です。r = 0 のときは、どの向きでも同じ点になるため θ が定まりません。原点以外では、atan2 が返す角度は −180°〜180° に収まります。中には [0°, 360°) で角度を表す流儀もあり、その範囲を使いたいときは負の角度に 360°（または 2π）を足せば、同じ向きの正の角度が得られます。

度数法か弧度法か

度とラジアンは同じ角度を測るもので、1回転は 360° = 2π ラジアン、180° = π ラジアンです。度は幾何・測量・航法でよく使われ、ラジアンは微積分や物理で標準です。これは、三角関数の微分が簡潔になるためです。手元の値に合わせて角度の単位を選べば、内部での変換は両方向ともこのツールが行います。