最終更新: 2026-07-01

一様分布ツール

連続一様分布は、最も単純な連続確率モデルです。区間 [a, b] 内のすべての値が等しく起こり、区間外は決して起こりません。「これらの限界の間のどこか、偏りなし」という状況、つまり丸め誤差や一定時間内のランダムな到着時刻、線分上のランダムな点などを自然に表します。2 つの境界と区間 [c, d] から、このツールは確率密度・平均・分散、累積確率 P(X ≤ c)、区間確率 P(c ≤ X ≤ d) を返します。

一様分布

分布は 2 つのパラメータで完全に定まります。

• a — 最小値。X が取りうる最小の値
• b — 最大値。X が取りうる最大の値

確率が均等に配分されるため、確率密度関数は [a, b] 上で一定、その外側では 0 になります。

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{それ以外} \end{cases}$$

密度は幅 (b − a) の区間で積分すると 1 になる必要があり、そのため一定の高さは正確に 1 / (b − a) に決まります。

累積分布

累積分布関数 (CDF) は、X がある値 x 以下になる確率を与えます。一様分布では、a で 0、b で 1 に達する直線になります。

$$F(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b$$

a より小さければ 0、b より大きければ 1 です。グラフが描くのはこの直線的なランプです。

区間確率

X が c と d の間に入る確率は、区間 [c, d] が全体の幅に占める割合です。

$$P(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}$$

c または d が [a, b] の外にあるときは、測定前に境界に丸められるため、確率が 1 を超えることはありません。

平均と分散

分布は対称なので、期待値は中点になります。

$$\mu = \frac{a + b}{2}$$

分散は広がりを表します。連続一様分布では次のとおりです。

$$\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$

標準偏差は (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a) です。区間の幅を 2 倍にすると分散は 4 倍になります。

量	式
密度 f(x)	1 / (b − a)
平均 μ	(a + b) / 2
分散 σ²	(b − a)² / 12
累積 F(x)	(x − a) / (b − a)

計算例

あるバスが、あなたが到着してから a = 0 分から b = 15 分の間に一様に到着するとします。待ち時間が c = 2 分から d = 5 分に入る確率はいくつでしょうか。

まず密度は次のとおりです。

$$f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$

区間確率は次のようになります。

$$P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0.2$$

したがって、待ち時間がその範囲に入る確率は 20% です。期待される待ち時間は次のとおりです。

$$\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7.5 \text{ 分}$$

分散は次のようになります。

$$\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18.75$$

したがって標準偏差はおよそ 4.33 分です。

密度は確率ではない

f(x) = 1 / (b − a) の値は密度であって確率ではなく、区間が狭いときは 1 を超えることがあります。a = 0、b = 0.5 では密度は 2 です。これは問題ありません。密度は幅を掛けて初めて確率になります。ちょうど 1 つの値になる確率は 0 なので、P(c ≤ X ≤ d) は P(c < X < d) と等しく、端点は何も寄与しません。

よくある質問 (FAQ)

連続一様分布とは何ですか？

連続一様分布は、区間 [a, b] 内のすべての値に等しい確率を割り当て、その外側では確率が 0 になる分布です。密度が平坦なため、同じ幅の 2 つの小区間は等しく起こりやすくなります。測定の丸め誤差や、一定時間内のランダムな到着時刻など、既知の範囲内でどこでも等しく起こりうる状況を表します。

ここでの PDF と CDF の違いは何ですか？

確率密度関数 (PDF) は一定で f(x) = 1 / (b − a) であり、確率ではなく密度を表します。累積分布関数 (CDF) は F(x) = (x − a) / (b − a) で、a で 0、b で 1 に達する直線で、X が x 以下になる確率を与えます。区間確率 P(c ≤ X ≤ d) は F(d) − F(c) に等しくなります。

一様分布の平均と分散はどう計算しますか？

分布は対称なので、平均は区間の中点 μ = (a + b) / 2 です。分散は σ² = (b − a)² / 12 で、標準偏差は (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a) になります。区間を広げると分散は二乗で増加します。

ちょうど 1 つの値になる確率はいくつですか？

一様分布を含むすべての連続分布では、ちょうど 1 つの値になる確率は 0 です。確率を持つのは区間だけです。そのため P(c ≤ X ≤ d) は区間の幅を用います。端点 c と d 自体は寄与しないので、P(c ≤ X ≤ d) は P(c < X < d) と等しくなります。