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作成日: 2026年7月20日 21:33

ベクトル射影の計算

入力

a の x 成分3
a の y 成分4
a の z 成分0
b の x 成分1
b の y 成分0
b の z 成分0

OneCalc で作成 · https://onecalc.app/ja/math/vector-projection

数学

ベクトル射影の計算

ベクトル a をベクトル b に射影します。スカラー射影、ベクトル射影の成分、および垂直成分（除去成分）を求めます。2次元（z = 0）でも3次元でも計算でき、計算過程も段階的に表示します。

入力

ベクトル a（射影される側）

ベクトル b（射影する方向）

結果

値を入力すると計算結果が表示されます。

詳細

計算過程

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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ベクトルの射影

ベクトル a をベクトル b に射影するとは、「a のうちどれだけが b の向きを向いているか」を求めることです。答えには2種類あります。1つの数（スカラー射影）と、1つのベクトル（ベクトル射影）です。さらに垂直成分（除去成分）と合わせることで、a を b に沿う部分と垂直な部分に分解できます。

スカラー射影

a の b へのスカラー射影は、a を b の方向に測った符号付きの長さです。

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

a が b と同じ向きに傾くと正、垂直なら0、逆向きに傾くと負になります。

ベクトル射影

ベクトル射影は、b の方向を向き、その長さがスカラー射影の絶対値に等しいベクトルです。

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

係数 a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} は、結果が a の先端の真下に来るように b を拡大・縮小します。

除去成分（垂直成分）

除去成分は、射影を取り除いたあとに a に残る部分です。

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

これは b に垂直なので、射影と除去成分は直交し、足し合わせると元のベクトルに戻ります。a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}。

計算例

a = (3, 4, 0)、b = (1, 0, 0) とします。

まず内積を求めます。

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

b の大きさは ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1 なので、スカラー射影は次のとおりです。

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

ベクトル射影は係数 31=3\frac{3}{1} = 3 を使います。

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

除去成分は垂直な残りの部分です。

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

予想どおり、(3, 0, 0) と (0, 4, 0) は垂直で、足すと (3, 4, 0) に戻ります。

2次元と3次元

同じ公式はどの次元でも使えます。平面（2次元）の問題では z 成分を0のままにし、x と y の結果を読み取ります。z の出力は0のままです。

仕事との関係

物理では、一定の力がする仕事は力と変位の内積です。

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

これは力の大きさに、変位の力方向へのスカラー射影を掛けたものです。運動の向きに沿った力の成分だけが仕事をし、垂直な成分（除去成分）は何も寄与しません。同じ考え方で、斜面上の物体の重力を斜面に沿う成分と面に押し付ける成分に分解できます。

応用

  • グラム・シュミットの直交化：各ベクトルから、すでに求めたベクトルへの射影を引いて直交基底を作ります。
  • 最小二乗法：部分空間内における点の最良近似は、その部分空間への射影です。
  • コンピュータグラフィックス：光や視線の方向を面に射影することで、陰影や影の長さを計算します。
  • 力の分解：斜面のように、力をある方向に沿う成分と垂直な成分に分けます。

よくある質問 (FAQ)

スカラー射影とベクトル射影の違いは何ですか？

スカラー射影 comp_b(a) = (a · b) / |b| は、a が b の方向にどれだけ伸びているかを表す符号付きの1つの数です。ベクトル射影 proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b は完全なベクトルで、b の向きを持ち、その長さはスカラー射影の絶対値に等しくなります。つまり、スカラー射影は「どれだけ」を、ベクトル射影は「どれだけ、どの向きに」を答えます。

あるベクトルを別のベクトルに射影するにはどうしますか？

内積 a · b と、大きさの2乗 b · b = |b|² を求めます。スカラー射影は (a · b) / |b| です。ベクトル射影は係数 (a · b) / (b · b) に b を掛けたものです。例えば a = (3, 4)、b = (1, 0) のとき、a · b = 3、|b| = 1 なので、スカラー射影は 3、ベクトル射影は (3, 0) になります。

除去成分（垂直成分）とは何ですか？

除去成分は、a から b への射影を取り除いた残りの部分 a − proj_b(a) です。これは b に垂直なので、射影と除去成分は a を直交する2つの部分に分解し、足し合わせると元の a に戻ります。この分解はグラム・シュミットの直交化や、力を面に沿う方向と垂直な方向に分解する際の基礎になります。

射影は物理でどのように使われますか？

一定の力がする仕事は W = F · d = |F| |d| cos θ で、力の大きさに、力の向きに沿った変位のスカラー射影を掛けたものです。運動の向きに沿った力の成分だけが仕事をし、垂直な成分は仕事をしません。射影は、斜面上の物体の重力を斜面に沿う成分と垂直な成分に分解する際にも使われます。

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