最終更新: 2026-06-23

ベイズの定理

ベイズの定理は、新しい証拠が得られたときに確率を更新するための法則です。ある事柄がどれくらい起こりやすいかという最初の見積もりに、証拠がどちらの方向をどれだけ強く示すかを組み合わせ、修正後の見積もりを返します。この計算では、最もよく使われる場面である診断検査にこの定理を適用し、疾患の有病率と検査の精度から、陽性という結果が本当である確率を導きます。

条件付き確率

条件付き確率 $P(A|B)$ は、$B$ が観測されたという前提のもとで $A$ が真である確率です。単独の確率 $P(A)$ とは異なり、$B$ の観測が情報をもたらします。医療検査の陽性は疾患を確定させるものではなく、確率を上方へ動かすにすぎません。その動く量は、検査の精度と、もともとの疾患のまれさの両方によって決まります。関連する 条件付き確率・ベイズの定理計算ツール は、$P(A \cap B)$ と $P(B)$ が分かっている場合にそれらを直接扱います。

計算式

ベイズの定理は、二つの条件付き確率の向きを結びつけます。

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

各項にはそれぞれ名前があります。

• 事前確率 $P(A)$ は、証拠を得る前の $A$ の確率です。検査の場合は疾患の有病率にあたります。
• 尤度 $P(B|A)$ は、$A$ が成り立つときに証拠が得られる確率で、検査の感度、すなわち真陽性率です。
• 周辺確率 $P(B)$ は、$A$ が真である場合と真でない場合を通じて証拠が観測される全体の確率です。これは $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$ に展開され、$P(B|\lnot A)$ は偽陽性率を表します。
• 事後確率 $P(A|B)$ が求める結果で、証拠を得た後の $A$ の確率です。

基準率の無視

検査結果を読むときに最もよく起こる誤りは、検査の精度と、陽性が本当である確率とを混同することです。この二つは別の問いであり、疾患がまれなときには答えも大きく食い違います。感度90%・特異度95%の検査は信頼できそうに見えますが、100人に1人しか罹患していなければ、わずかな偽陽性率が健康な99人に適用されます。健康な人の数が多いため、偽の警報が真陽性を数倍上回ることになります。このように有病率を無視する誤りを、基準率の無視と呼びます。

計算例

対象集団の1%が罹患する疾患を考えます。検査は真の罹患者の90%を陽性とし、健康な人の5%を誤って陽性とします。事前確率は有病率0.01、感度は0.90、偽陽性率は0.05です。

陽性という結果は、疾患の確率を1%からおよそ15%へ引き上げます。確率は15倍にまで大きく動きましたが、一度の陽性だけでは依然として偽の可能性のほうが高いままです。まれな疾患のスクリーニングで陽性を確定とみなさず、より特異度の高い二度目の検査を続けて行うのは、このためです。

発展

同じ定理はオッズ形式でも書けます。この形式は更新の見通しをよくすることが多く、事後オッズは事前オッズに尤度比 $P(B|A) / P(B|\lnot A)$ を掛けたものに等しくなります。先ほどの例では事前オッズが1対99、尤度比が18なので、事後オッズは18対99、すなわち約15%となり、同じ答えが得られます。近い考え方を扱う オッズ比 は、二つの比を直接比較します。

ベイズの定理は逐次更新にも対応します。一度目の検査の後、その事後確率が次の検査の事前確率になります。独立した二度の陽性を順に適用すると、確率はどちらか一方だけよりもはるかに高くなります。これがまさに、確認検査が確からしさを高める仕組みです。証拠が一つずつ積み重なる場面では、各段階で同じ法則が働き、前段の結論が次の出発点になります。