最終更新: 2026-07-01

定義

二項定理は、二項の和の累乗を項の和に展開します。

各項は二項係数 $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ に、$(n-k)$ 乗した $a$ と $k$ 乗した $b$ を掛けたものです。$k$ が $0$ から $n$ まで動くと、$a$ の指数は $n$ から $0$ へ下がり、$b$ の指数は $0$ から $n$ へ上がるため、2 つの指数の和は常に $n$ になります。

一般項

番号 $k$（$0$ から数える）の 1 項は次のとおりです。

これが項の番号の欄で求める値です。$k = 0$ とすれば先頭の項 $a^n$、$k = n$ とすれば末尾の項 $b^n$ になります。特定の係数や、ある次数を含む項だけが必要なとき、展開全体を書き下さずに 1 項ずつ読み取れます。

計算例

$(2 + 3)^4$ で $k = 2$ の項を求めます。まず係数は次のとおりです。

次に項 $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$ を計算します。

展開全体は $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$ で、$5^4$ に一致することが確認できます。

係数とパスカルの三角形

係数 $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ は、頂点を第 $0$ 行として数えたパスカルの三角形の第 $n$ 行を成します。次の漸化式に従います。

つまり各要素は真上の 2 つの和です。$(a + b)^3$ の行は $1, 3, 3, 1$、$(a + b)^4$ の行は $1, 4, 6, 4, 1$ です。上の係数グラフはこの行をそのまま描いています。

対称性

二項係数は対称です。

そのため 1 つの行は前からでも後ろからでも同じに読めます。これは、どの $k$ 個の因子から $b$ を選ぶかは、どの $n-k$ 個の因子から $a$ を選ぶかと同じことに対応します。

係数の総和

$a = b = 1$ とすると、定理は簡潔な恒等式になります。

したがって、どの行でも係数の総和は 2 の累乗になります。$n = 3$ の行の和は $8$、$n = 6$ の行の和は $64$ です。$a = 1, b = -1$ とすると交代和が得られ、$n \geq 1$ のときは常に $0$ になります。

主な応用

• 代数: 累乗された多項式の展開や式の整理。
• 確率: 係数は二項分布を支え、$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ が $n$ 回の試行で $k$ 回成功する確率を与えます。
• 近似: 小さな $x$ に対して $(1 + x)^n$ の最初の 2 項を残すと、近似 $1 + nx$ が得られます。
• 組合せ論: 行の和 $2^n$ や交代和 $0$ といった恒等式は定理から直ちに従います。

実用上の注意

整数の指数が前提。 上の形は $n$ が整数であることを前提とします。分数や負の指数には、無限和である一般化二項級数を用いますが、これは別の話題です。

先頭と末尾の項。 $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ なので、どの展開でも最初と最後の係数は $1$ です。

係数だけ、つまり $a$ と $b$ の累乗を除いた「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ」値が必要なときは、組み合わせの計算 — C(n, r) を利用してください。