Última actualización: 2026-06-06

Evaluación de un polinomio en un punto

Un polinomio P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ asocia un valor numérico a cada número real x. El método más directo consiste en calcular cada potencia de x, multiplicarla por el coeficiente correspondiente y sumar los resultados; sin embargo, ese procedimiento requiere del orden de n(n+1)/2 multiplicaciones para un polinomio de grado n. El esquema de Horner permite obtener el mismo resultado con exactamente n multiplicaciones y n sumas reescribiendo el polinomio como un producto anidado:

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

Este algoritmo está implementado en todos los sistemas de álgebra computacional y bibliotecas numéricas modernas.

Esta calculadora recibe los coeficientes del polinomio de mayor a menor grado (por ejemplo, 1, -3, 2, 5 para x³ − 3x² + 2x + 5) y un valor de x, y devuelve el grado, la expresión algebraica del polinomio y P(x), junto con una gráfica interactiva de la curva centrada en el punto de evaluación.

El esquema de Horner paso a paso

El algoritmo mantiene un acumulador inicializado con el coeficiente director aₙ. En cada paso posterior realiza una multiplicación seguida de una suma:

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad \text{para } k = 1, 2, \ldots, n$

Tras n pasos, el acumulador contiene P(x). Este número de operaciones es óptimo: ningún algoritmo de evaluación polinómica puede emplear menos de n multiplicaciones.

Ejemplo: P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 evaluado en x = 2 (coeficientes: 1, -3, 2, 5)

Por tanto, P(2) = 5, resultado que se confirma directamente: 8 − 12 + 4 + 5 = 5.

Eficiencia comparativa

La evaluación directa calcula cada potencia de x de forma independiente: x² = x·x, x³ = x²·x, etc. Para un polinomio de grado n, ese proceso requiere hasta n(n+1)/2 multiplicaciones antes de la suma final. El esquema de Horner reutiliza cada producto intermedio y reduce el recuento a exactamente n multiplicaciones y n sumas.

Además, el esquema de Horner presenta mayor estabilidad numérica que el método directo: al no calcular potencias elevadas de x de forma explícita, se reducen los errores de cancelación catastrófica cuando los coeficientes difieren mucho en magnitud.

Introducción de coeficientes

Los coeficientes se listan desde el término de mayor grado hasta el término independiente, separados por comas. Los coeficientes nulos no deben omitirse: la ausencia de un cero desplaza todos los coeficientes restantes al grado incorrecto.

El grado es siempre el número de valores introducidos menos uno. Un único coeficiente corresponde a un polinomio de grado 0 (constante).

Aplicaciones

La evaluación de polinomios aparece en múltiples disciplinas:

• Gráficos por computadora. Las curvas de Bézier y las splines son polinomios paramétricos; renderizar un fragmento de curva cúbica requiere evaluar un polinomio de grado 3 centenares de veces por fotograma.
• Procesamiento de señales. Los filtros de respuesta finita al impulso (FIR) equivalen a convoluciones que se evalúan muestra a muestra mediante el producto polinómico en el dominio Z.
• Búsqueda de raíces. El método de Newton para resolver P(x) = 0 evalúa P(x₀) y P′(x₀) en cada iteración, valores que se obtienen con un solo recorrido del esquema de Horner.
• Funciones de verificación. Los códigos de redundancia cíclica (CRC) evalúan un polinomio binario módulo un polinomio generador, lo que equivale a un bucle de Horner sobre el cuerpo GF(2).
• Sistemas de control. Las funciones de transferencia son cocientes de polinomios en la variable s (transformada de Laplace) o en z (transformada Z); el análisis de estabilidad requiere evaluar el polinomio característico sobre el eje imaginario.

Relación con la división sintética

El esquema de Horner es algebraicamente equivalente a la división sintética, el algoritmo abreviado para dividir P(x) entre un factor lineal (x − c). El resto de esa división es precisamente P(c), y el polinomio cociente Q(x) satisface P(x) = (x − c)Q(x) + P(c). Un único recorrido del esquema de Horner produce por tanto simultáneamente P(c) y los coeficientes de Q(x). Evaluando Q(c) se obtiene P′(c), lo que constituye la base de la iteración de Newton para la búsqueda de raíces.

Calculadoras relacionadas

Para calcular P′(x) junto con P(x), utilice la la Derivada de un polinomio en un punto. Para integrar el polinomio, consulte la la Integral Definida de Polinomios. Para resolver P(x) = 0, use la la Resolución de ecuaciones de segundo grado (grado 2) o la la Resolución de ecuaciones cúbicas (grado 3).