最終更新: 2026-07-01

シンプソン公式

シンプソン公式は、曲線を直線ではなく放物線で置き換えて定積分を見積もる方法です。隣り合う 2 本の帯ごとに 3 点を通る放物線を当てはめ、それらの放物線の下の面積の合計で積分を近似します。放物線は直線の弦が見落とす曲がりをとらえるため、同じサンプル数なら台形公式よりふつう大幅に正確です。

区間 [a, b] を幅 h = (b − a) / n の等しい n 個の小区間に分けます。ここで n は偶数です。すると格子点は x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b の n + 1 個になります。各点で関数を評価すると値 f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ) が得られ、近似は次のとおりです。

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

本ツールは入力された数式ではなく、サンプルされた関数値から計算します。等間隔な n + 1 個の点での f を与える形で、測定データや数表から値が得られる場面にそのまま当てはまります。

重みが 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 になる理由

間隔 h の 3 点の組 [x₀, x₁, x₂] を考えます。これらを通る唯一の放物線を組の上で厳密に積分すると

(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)

となり、組の中央の点は重み 4、両端は重み 1 になります。連続する組 [x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄], … をつなぐと、各組の中央の点は重み 4 のままで、共有される境界の点は 2 つの組に属するため重み 1 + 1 = 2 になります。外側の 2 つの端点は 1 つの組だけに属するので重み 1 のままです。これらをまとめると 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1 にすべて h/3 を掛けた形になります。この組のペア化こそが n を偶数にしなければならない理由です。

計算例

n = 4 の小区間で ∫₀¹ x² dx を見積もります。刻み幅は h = (1 − 0) / 4 = 0.25 で、格子点は 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 です。x² の値は次のとおりです。

重み 1, 4, 2, 4, 1 で公式を適用します。

∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 4(0.0625) + 2(0.25) + 4(0.5625) + 1] ∫ ≈ (0.25/3)·[0 + 0.25 + 0.5 + 2.25 + 1] = (0.25/3)·4 = 1/3

結果はちょうど 1/3 で、積分の厳密値と一致します。これは偶然ではありません。シンプソン公式は 3 次以下の多項式を厳密に積分するため、x² のような 2 次関数は帯の数によらず誤差ゼロでとらえられます。

誤差のふるまい

シンプソン公式は 4 次精度で、h を半分にすると誤差はおよそ 16 分の 1 になります。4 階導関数が連続な関数では、[a, b] 上の誤差は区間内のある ξ を用いて

E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)

となります。ここから 2 点が導かれます。

• 誤差は 4 階導関数に依存するため、3 次以下の多項式は厳密に積分されます。その 4 階導関数は 0 だからです。
• 滑らかな曲線では h⁴ の因子が誤差を非常に速く下げるため、少ない帯でも高い精度が得られることが多いです。

シンプソン公式と台形公式

台形公式は点と点を直線で結ぶため、誤差は h² に比例します（2 次精度）。シンプソン公式は放物線を当てはめて h⁴（4 次精度）に達し、同じ点数でもはるかに速く収束します。トレードオフは次のとおりです。

• シンプソン公式は小区間の数が偶数である必要があり、台形公式は任意の n で使えます。
• 雑音の多い不規則なデータでは、放物線を無理に当てはめるとノイズが増幅しがちで、台形公式のほうが頑健なことがあります。

目安として、関数が滑らかで同じ手間で高い精度が欲しい場合はシンプソン公式を、素早い見積もり・雑音の多いデータ・n を奇数にしたい場合は台形公式を選びます。

実用上の注意

• 偶数の小区間のみ。 シンプソン 1/3 公式は帯をペアにするため、n は偶数でなければなりません。奇数の n は本ツールが知らせます。
• 個数を合わせる。 n 個の小区間にはちょうど n + 1 個の値（格子点ごとに 1 つ）が必要です。食い違いがあると、間隔が一定に保たれるよう本ツールが知らせます。
• 順序を守る。 値は x₀ = a から xₙ = b の順に並べます。内部の奇数番目と偶数番目の点では重みが異なるため、順序が重要です。
• 上下端の入れ替え。 a が b より大きいと刻み幅が負になり、結果の符号が反転します。これは積分の上下端を入れ替える約束と一致します。
• 等間隔のみ。 これは一様格子上のシンプソン公式です。不等間隔のデータには、より一般的な数値積分公式が必要です。

関連する計算

• 多項式の定積分 — 微分積分学の基本定理による多項式の厳密な積分
• 多項式の微分計算 — 1 点での数値微分
• 等差数列の計算 — 等間隔の値の項と和