最終更新: 2026-07-01

台形公式

台形公式は、サンプル点の間の曲線を直線で置き換えて定積分を見積もる方法です。各帯が台形になり、積分はそれらの台形の面積の合計で近似されます。

区間 [a, b] を幅 h = (b − a) / n の等しい n 個の小区間に分けると、格子点は x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b の n + 1 個になります。各点で関数を評価すると値 f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ) が得られ、近似は次のとおりです。

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

本ツールは入力された数式ではなく、サンプルされた関数値から計算します。等間隔な n + 1 個の点での f を与える形で、測定データや数表から値が得られる場面にそのまま当てはまります。

重みが 1, 2, 2, …, 2, 1 になる理由

1 つの小区間 [xᵢ, xᵢ₊₁] は、平行な辺 f(xᵢ) と f(xᵢ₊₁)、幅 h の台形をつくります。その面積は (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)) です。n 個の台形の面積を足し合わせると、内部の各点は隣り合う 2 つの台形に共有されて 2 回現れ、両端の点は 1 回だけ現れます。そこから重み 1, 2, 2, …, 2, 1 にすべて h/2 を掛けた形が生まれます。内部で用いている便利な書き換えは次のとおりです。

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ]

これはすべての値を 2 回足してから、両端を 1 回ずつ引く形です。

計算例

n = 4 の小区間で ∫₀¹ x² dx を見積もります。刻み幅は h = (1 − 0) / 4 = 0.25 で、格子点は 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 です。x² の値は次のとおりです。

公式を適用します。

∫ ≈ (0.25/2)·[0 + 2(0.0625) + 2(0.25) + 2(0.5625) + 1] ∫ ≈ 0.125·[0 + 0.125 + 0.5 + 1.125 + 1] = 0.125·2.75 = 0.34375

厳密値は 1/3 ≈ 0.33333 なので、4 本の帯ですでに約 0.01 の精度です。n = 10 にすると 0.335、n = 100 では 0.333325 になり、誤差はおおむね h² に比例して小さくなります。

誤差のふるまい

台形公式は 2 次精度で、h を半分にすると誤差はおよそ 4 分の 1 になります。2 回微分可能な関数では、[a, b] 上の誤差は区間内のある ξ を用いて

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

となります。2 階導関数の符号から、次の 2 点が導かれます。

• 下に凸の曲線（f″ > 0）では弦が曲線の上側を通るため、公式は積分を過大に評価します。
• 上に凸の曲線（f″ < 0）では弦が下側を通るため、過小に評価します。

直線では f″ = 0 なので、台形公式は厳密です。各帯が本物の台形であり、見落とす曲がりがありません。

台形公式とシンプソン公式

シンプソン公式は、直線の代わりに小区間の組ごとに放物線を当てはめます。その誤差は h⁴ に比例するため、滑らかな関数では同じ点数でもはるかに速く収束します。代わりに、シンプソン公式は小区間の数が偶数である必要があり、台形公式は任意の n で使えます。また台形公式は、散らばった点に放物線を強いるとノイズが増幅しがちなため、雑音や不規則なデータに対してより頑健です。

目安として、素早い見積もり・数表・n を奇数にしたい場合は台形公式を、関数が滑らかで同じサンプル数で高い精度が欲しい場合はシンプソン公式を選びます。

実用上の注意

• 個数を合わせる。 n 個の小区間にはちょうど n + 1 個の値（格子点ごとに 1 つ）が必要です。食い違いがあると、間隔が一定に保たれるよう本ツールが知らせます。
• 順序を守る。 値は x₀ = a から xₙ = b の順に並べます。両端と内部の点では重みが異なるため、順序が重要です。
• 上下端の入れ替え。 a が b より大きいと刻み幅が負になり、結果の符号が反転します。これは積分の上下端を入れ替える約束と一致します。
• 等間隔のみ。 これは一様格子上の台形公式です。不等間隔のデータには、帯ごとの幅を用いた一般の台形公式が必要です。

関連する計算

• 多項式の定積分 — 微分積分学の基本定理による多項式の厳密な積分
• 多項式の微分計算 — 1 点での数値微分
• 等差数列の計算 — 等間隔の値の項と和