Última atualização: 2026-05-19

Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre termos consecutivos é sempre a mesma — a razão (d). Dado o primeiro termo a₁, a sequência é:

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

Exemplo clássico do Ensino Médio: 3, 7, 11, 15, … (a₁ = 3, d = 4). Esta calculadora encontra, de uma vez só, o termo n (aₙ), a soma parcial (Sₙ) e a média dos n primeiros termos.

Fórmula do termo geral

O n-ésimo termo de uma PA é dado por:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

De a₁ até aₙ, somamos d exatamente n−1 vezes.

Exemplo. A PA 5, 9, 13, 17, … tem a₁ = 5 e d = 4. O 15.º termo vale:

$$a_{15} = 5 + (15 - 1) \times 4 = 5 + 56 = 61$$

Fórmula da soma e o truque de Gauss

A soma dos n primeiros termos de uma PA é:

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

O argumento central é o emparelhamento simétrico: ao somar o primeiro com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante, cada par resulta no mesmo valor. Para a sequência de 1 a 100:

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

São 50 pares, cada um valendo 101, portanto a soma é 50 × 101 = 5 050. Em geral, existem n/2 pares de soma a₁ + aₙ, resultando em Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Sem calcular aₙ antes, usa-se diretamente:

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

Média

A média dos n primeiros termos é a semissoma do primeiro e do último:

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

Isso reflete a simetria da PA: os termos se distribuem uniformemente em torno desse ponto central.

Relação com funções afins

As PAs são a versão discreta das funções afins. Ao traçar o gráfico com o índice n no eixo x e o valor aₙ no eixo y, os pontos se alinham numa reta:

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

A razão d equivale ao coeficiente angular e (a₁ − d) é o coeficiente linear. Essa conexão é explorada no currículo do Ensino Médio brasileiro ao estudar funções do 1.º grau.

Casos especiais

Condição	Efeito
d = 0	PA constante; Sₙ = n·a₁
d < 0	PA decrescente
d fracionário	Válido; termos decimais igualmente espaçados
n = 1	aₙ = a₁; S₁ = a₁; média = a₁

Exemplo com valores reais

Um estagiário recebe R$ 1.200 no primeiro mês e aumento de R$ 100 por mês (a₁ = 1.200, d = 100). Qual será o salário no 12.º mês e o total recebido no ano?

• a₁ = R$ 1.200, d = R$ 100, n = 12
• a₁₂ = 1.200 + 11 × 100 = 1.200 + 1.100 = R$ 2.300
• S₁₂ = 12 × (1.200 + 2.300) / 2 = 12 × 1.750 = R$ 21.000
• Salário médio mensal: R$ 1.750

Perguntas frequentes (FAQ)

Como calcular o enésimo termo de uma progressão aritmética?

A fórmula é aₙ = a₁ + (n − 1)·d, onde a₁ é o primeiro termo, d é a razão e n é a posição. Por exemplo, na PA 2, 5, 8, 11, … (a₁ = 2, d = 3), o décimo termo vale 2 + 9·3 = 29.

Qual é a fórmula da soma de uma progressão aritmética?

A soma dos n primeiros termos é Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Essa fórmula vem do truque de emparelhamento de Gauss: cada par formado pelo primeiro e pelo último termo soma a₁ + aₙ, e existem n/2 desses pares. Também se pode usar Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2.

Qual a diferença entre progressão aritmética e geométrica?

Na PA soma-se uma razão constante d a cada passo (crescimento linear). Na PG multiplica-se por uma razão constante q (crescimento exponencial). Exemplo: 2, 5, 8, 11 é PA (d = 3); 2, 6, 18, 54 é PG (q = 3).

A razão pode ser negativa ou fracionária?

Sim, d pode ser qualquer número real. Uma razão negativa produz uma progressão decrescente (ex.: 10, 7, 4, 1, −2, …). Razões fracionárias também são válidas (ex.: d = 0,5 resulta em 1; 1,5; 2; 2,5; …). Quando d = 0, todos os termos são iguais a a₁ e Sₙ = n·a₁.