Calculadora de Probabilidade Binomial

Calcule P(X=k), P(X≤k) e P(X≥k) para uma distribuição binomial. Informe o número de ensaios, o número de sucessos e a probabilidade de sucesso por ensaio.

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Resultados

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &= (?)(0,5)^{ 3 }(1-0,5)^{ 10-3 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= np \\ &= (10)(0,5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{np(1-p)} \\ &= \sqrt{(10)(0,5)(1-0,5)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \binom{n}{k} &= \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\ &= \dfrac{10!}{3!(10-3)!} \\ &= ? \end{aligned}
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O que é a distribuição binomial?

A distribuição binomial modela o número de sucessos em um número fixo de ensaios independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso. Jogar uma moeda 10 vezes e contar caras, inspecionar 100 peças e registrar defeitos, ou consultar 50 eleitores — todos esses casos seguem o modelo binomial quando cada ensaio tem apenas dois resultados possíveis e os ensaios são independentes entre si.

Fórmulas

Para nn ensaios, kk sucessos e probabilidade de sucesso pp por ensaio:

Combinações (número de formas de escolher kk sucessos em nn ensaios):

C(n,k)=(nk)=n!k!(n−k)!C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Probabilidade exata:

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Probabilidade acumulada (no máximo kk sucessos):

P(X≤k)=∑i=0k(ni)pi(1−p)n−iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

Pelo menos kk sucessos:

P(X≥k)=1−P(X≤k−1)P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Média e desvio padrão:

μ=npσ=np(1−p)\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Exemplo resolvido: lançamento de moeda

Lance uma moeda honesta ($p = 0{,}5$) 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

P(X=3)=(103)×0,53×0,57=120×11024≈0,117P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0{,}117

Cerca de 11,7%. A probabilidade acumulada de obter 3 caras ou menos:

P(X≤3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1+10+45+1201024=1761024≈17,2%P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17{,}2\%

E 3 caras ou mais: P(X≥3)=1−P(X≤2)=1−56/1024≈94,5%P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94{,}5\%.

Aplicações

Controle de qualidade: Uma fábrica produz parafusos com 2% de taxa de defeitos. Se você inspecionar um lote de 50 peças, qual é a probabilidade de encontrar mais de 2 defeituosas? Use $n = 50$, $p = 0{,}02$ e calcule P(X>2)=1−P(X≤2)P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2).

Ensaio clínico: Um medicamento tem taxa de sucesso de 70%. Em um estudo com 20 pacientes, qual é a probabilidade de que pelo menos 15 respondam ao tratamento? Use $n = 20$, $p = 0{,}7$ e calcule P(X≥15)P(X \geq 15).

Pesquisa eleitoral: Em uma cidade onde 40% apoiam determinada proposta, qual é a probabilidade de que exatamente 5 dos 12 eleitores selecionados aleatoriamente sejam favoráveis?

Aproximação normal

Para nn grande, a distribuição binomial se aproxima de uma curva em forma de sino. A aproximação X≈N(μ,σ2)X \approx N(\mu, \sigma^2) é confiável quando:

np≥5en(1−p)≥5np \geq 5 \quad \text{e} \quad n(1-p) \geq 5

Aplique a correção de continuidade: P(X=k)≈P(k−0,5<Z<k+0,5)P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Z < k + 0{,}5), onde ZZ é a normal-padrão.

Para $n = 10$, $p = 0{,}5$: $np = 5$ está no limite — a aproximação é pouco confiável nesse caso. A partir de $n = 100$ ou mais, ela se torna adequada.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a fórmula da probabilidade binomial?

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), em que C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) é o número de maneiras de escolher k sucessos em n ensaios. Por exemplo, a probabilidade de obter exatamente 3 caras em 10 lançamentos de uma moeda justa é: P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0,1172 (aproximadamente 11,7%).

Como se calcula a probabilidade binomial acumulada?

P(X ≤ k) é a soma P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k). Para obter no máximo 3 caras em 10 lançamentos: P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,172. A probabilidade complementar P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) representa a probabilidade de ocorrer ao menos k sucessos.

Quais são a média e o desvio padrão de uma distribuição binomial?

Média: μ = n × p. Desvio padrão: σ = √(np(1−p)). Para 10 ensaios com p = 0,5: μ = 5 e σ = √2,5 ≈ 1,58. A média indica o número esperado de sucessos, enquanto o desvio padrão mede o quanto o resultado real costuma afastar-se dessa expectativa.

Quando é possível aproximar a distribuição binomial pela normal?

A aproximação normal é adequada quando np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5. Nesse caso, X ≈ Normal(μ, σ²) com μ = np e σ² = np(1−p). Aplica-se a correção de continuidade: P(X = k) ≈ P(k−0,5 < Z < k+0,5). Para n = 10 e p = 0,5, np = 5 está exatamente no limite; a aproximação torna-se bem mais confiável a partir de n ≥ 30.

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