Última atualização: 2026-07-01

Aritmética de números complexos

Um número complexo reúne uma parte real e uma parte imaginária em uma única quantidade, escrita a + bi, em que i é a unidade imaginária definida por i² = −1. O número a é a parte real e b é o coeficiente da parte imaginária. Esta calculadora recebe dois números complexos, z₁ = a + bi e z₂ = c + di, aplica a operação escolhida — adição, subtração, multiplicação ou divisão — e apresenta o resultado junto com seu módulo e seu argumento.

Os números complexos estendem a reta real para um plano bidimensional, o que os torna indispensáveis em engenharia elétrica, processamento de sinais, teoria de controle e mecânica quântica.

As quatro operações

A adição e a subtração são feitas componente a componente, exatamente como na soma de vetores:

• z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i
• z₁ − z₂ = (a − c) + (b − d)i

A multiplicação é desenvolvida como dois binômios; com i² = −1, o termo em i² volta para a parte real:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i

A divisão multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador, c − di. Isso elimina a parte imaginária do denominador e deixa o valor real c² + d²:

z₁ / z₂ = ((ac + bd) + (bc − ad)i) / (c² + d²)

A divisão é definida para todo z₂ exceto 0 + 0i, em que c² + d² = 0.

Exemplo resolvido

Problema: Multiplicar z₁ = 3 + 4i por z₂ = 1 + 2i.

Usando a regra da multiplicação com a = 3, b = 4, c = 1, d = 2:

• Parte real: ac − bd = (3)(1) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
• Parte imaginária: ad + bc = (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10

Portanto, z₁ z₂ = −5 + 10i.

O módulo do resultado é √((−5)² + 10²) = √125 ≈ 11,18, e seu argumento é atan2(10, −5) ≈ 116,57°, que fica no segundo quadrante porque a parte real é negativa e a imaginária é positiva.

Módulo e argumento

Todo número complexo corresponde a um ponto do plano, com a parte real no eixo horizontal e a imaginária no eixo vertical. Duas grandezas polares descrevem esse ponto:

• O módulo r = √(x² + y²) é a distância até a origem. Ele mede o tamanho do número.
• O argumento φ é o ângulo medido a partir do eixo real positivo. A arco-tangente de dois argumentos, φ = atan2(y, x), coloca o ângulo no quadrante correto e devolve um valor entre −180° e 180° (ou entre −π e π em radianos).

Forma algébrica versus forma polar

A forma algébrica, x + yi, fornece diretamente as coordenadas horizontal e vertical. A forma polar, r(cos φ + i sin φ), usa em vez disso a distância e o ângulo. As duas formas descrevem o mesmo número; escolher entre elas é uma questão de conveniência.

A adição e a subtração são mais simples na forma algébrica, pois as partes se combinam de modo independente. A multiplicação, a divisão e as potências são mais simples na forma polar: os módulos se multiplicam ou se dividem enquanto os argumentos se somam ou se subtraem. O teorema de De Moivre se apoia diretamente nisso e transforma a trabalhosa tarefa de elevar um número complexo a uma potência em uma única multiplicação do argumento.