Calculadora de Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes

Última atualização: 2026-05-20

Probabilidade condicional

A probabilidade condicional P(A|B) é a probabilidade de que o evento A ocorra dado que o evento B já foi observado. Ela restringe o espaço amostral: em vez de considerar todos os resultados possíveis, passa-se a considerar apenas os cenários em que B é verdadeiro, e mede-se qual fração desses cenários envolve A.

Esta calculadora recebe três entradas — a probabilidade a priori P(A), a verossimilhança P(B|A) e a taxa de falso positivo P(B|¬A) — e calcula a probabilidade a posteriori P(A|B) pelo teorema de Bayes, além da probabilidade conjunta P(A∩B) e da probabilidade total P(B).

Mecanismo e intuição

Entre todas as ocasiões em que B ocorre, algumas são verdadeiros positivos (A era verdadeiro e produziu B) e outras são falsos positivos (A era falso, mas B apareceu assim mesmo). O teorema de Bayes contabiliza esses dois grupos com precisão. Se o grupo de falsos positivos for grande — seja porque P(B|¬A) é alto, seja porque ¬A é muito comum — ele dilui os verdadeiros positivos e a probabilidade a posteriori cai.

Fórmula: teorema de Bayes

O teorema de Bayes conecta a probabilidade a posteriori à probabilidade a priori por meio de dois componentes:

Probabilidade conjunta

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Essa é a probabilidade de que A seja verdadeiro e a evidência B seja observada ao mesmo tempo.

Probabilidade total de B

$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + (1 - P(A)) \cdot P(B|\lnot A)$

B pode ocorrer por dois caminhos: quando A é verdadeiro (ponderado pela probabilidade a priori) e quando A é falso (ponderado pela taxa de falso positivo). A soma dos dois caminhos fornece a chance geral de se observar B.

Probabilidade a posteriori

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + (1-P(A)) \cdot P(B|\lnot A)}$

A probabilidade a posteriori é a fração dos "eventos B" que também envolvem A.

Exemplo: diagnóstico médico

Exames de rastreamento são amplamente utilizados pelo Sistema Único de Saúde (SUS) e pela saúde suplementar. Vamos considerar uma doença que afeta 1% da população. O exame de diagnóstico tem sensibilidade de 99% [P(B|A) = 0,99] e taxa de falso positivo de 5% [P(B|¬A) = 0,05]. Você recebeu um resultado positivo. Qual é a probabilidade de estar doente de fato?

Passo 1: P(A∩B) = 0,01 × 0,99 = 0,0099

Passo 2: P(B) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,05 = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594

Passo 3: P(A|B) = 0,0099 / 0,0594 ≈ 16,7%

Apesar de o exame ter 99% de sensibilidade, um resultado positivo representa apenas cerca de 1 chance em 6 de realmente estar doente. Os 99% saudáveis da população geram muito mais falsos positivos (~5%) do que o 1% doente gera verdadeiros positivos (~1%), de modo que os verdadeiros positivos ficam numericamente minoritários no conjunto de resultados positivos. Esse resultado explica por que o exame confirmatório é prática clínica padrão — tanto nos protocolos do Ministério da Saúde quanto nas diretrizes das sociedades médicas brasileiras.

A falácia da taxa base

A falácia da taxa base é o erro de ignorar a probabilidade a priori ao avaliar uma evidência. No exemplo acima, considerar apenas a acurácia de 99% do exame e concluir "quase certamente positivo verdadeiro" ignora a informação crucial: a doença é rara. Quanto mais raro o evento, maior precisa ser a especificidade do teste para que um resultado positivo seja confiável. A fórmula captura exatamente essa relação — ao reduzir P(A) na calculadora, a probabilidade a posteriori cai mesmo que o exame mantenha alta acurácia.

Independência: quando a evidência não diz nada

Se P(B|A) for igual a P(B|¬A), a evidência B é estatisticamente independente de A — observar B não fornece nenhuma informação sobre se A ocorreu. Nesse caso, a probabilidade total P(B) é igual ao valor comum das duas verossimilhanças, e o teorema de Bayes se simplifica para P(A|B) = P(A). Ao definir P(B|A) = P(B|¬A) = 50% na calculadora, a probabilidade a posteriori coincidirá com a probabilidade a priori, independentemente do valor de P(A).