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Gerado em: 20 de julho de 2026 às 21:34

Calculadora de intervalo de confiança para uma proporção

Entradas

Número de sucessos320
Tamanho da amostra500
Nível de confiança95%

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/confidence-interval-proportion

Matemática

Calculadora de intervalo de confiança para uma proporção

Calcula o intervalo de confiança e a margem de erro de uma proporção amostral: informe os sucessos e o tamanho da amostra, escolha um nível de confiança de 90%, 95% ou 99% e veja tanto o intervalo de Wald quanto o de Wilson.

Entradas

Dados da amostra

≥ 1

Resultados

Insira um valor para ver os resultados.

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Estimativa pontual e margem

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Intervalo de Wilson

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Passo a passo

\hat p = \dfrac{x}{n} = \dfrac{320}{500} = ?\%
\begin{aligned} E &= z^{*} \sqrt{\dfrac{\hat p\,(1 - \hat p)}{n}} \\ &= ? \sqrt{\dfrac{\frac{320}{500}\left(1 - \frac{320}{500}\right)}{500}} \\ &= ?\% \end{aligned}
\text{Lower} = \hat p - E = ?\% - ?\% = ?\%
\text{Upper} = \hat p + E = ?\% + ?\% = ?\%

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Intervalo de confiança para uma proporção

Quando uma pesquisa informa que 64% dos entrevistados apoiam uma medida, esse único percentual é apenas uma estimativa pontual de uma amostra. Um intervalo de confiança o transforma em uma faixa de valores plausíveis para a proporção verdadeira da população, junto com um nível de confiança declarado. Ele combina a proporção amostral com uma margem de erro que reflete o quanto a estimativa pode variar de uma amostra para outra.

Fórmulas

Com xx sucessos em uma amostra de tamanho nn, a proporção amostral é:

p^=xn\hat{p} = \frac{x}{n}

Erro padrão:

SE=p^ (1−p^)nSE = \sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Margem de erro:

E=z∗×SE=z∗p^ (1−p^)nE = z^{*} \times SE = z^{*}\sqrt{\frac{\hat{p}\,(1 - \hat{p})}{n}}

Intervalo de confiança de Wald:

p^±E=[p^−E, p^+E]\hat{p} \pm E = \left[\hat{p} - E,\ \hat{p} + E\right]

Valores z críticos (distribuição normal padrão):

Nível de confiançaz∗z^{*}
90%1,6449
95%1,9600
99%2,5758

Wald versus Wilson

O intervalo de Wald acima é a fórmula da maioria dos livros introdutórios: simétrica em torno de p^\hat{p} e fácil de calcular. Sua fraqueza é depender da aproximação normal da binomial, que falha quando a amostra é pequena ou a proporção está próxima de 0 ou 1. Nesses casos o intervalo de Wald fica estreito demais, sua cobertura cai abaixo do nível declarado e ele pode até produzir limites abaixo de 0% ou acima de 100%.

O intervalo de escore de Wilson corrige isso invertendo o teste de escore em vez de supor simetria:

p^+z∗22n±z∗p^(1−p^)n+z∗24n21+z∗2n\frac{\hat{p} + \dfrac{z^{*2}}{2n} \pm z^{*}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n} + \dfrac{z^{*2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{*2}}{n}}

Os limites de Wilson sempre permanecem entre 0 e 100%, o intervalo é assimétrico e sua cobertura fica próxima do nível-alvo mesmo com nn pequeno. Hoje muitos estatísticos tratam Wilson como o padrão; esta calculadora apresenta os dois para comparação lado a lado.

Quando a aproximação normal é válida?

Uma regra prática comum é confiar no intervalo de Wald apenas quando valem ao mesmo tempo

np^≥5en(1−p^)≥5n\hat{p} \geq 5 \quad \text{e} \quad n(1 - \hat{p}) \geq 5

(alguns textos exigem 10). Com muito poucos sucessos, uma proporção próxima de 0 ou 1 ou uma amostra pequena, troque pelo intervalo de escore de Wilson ou por um intervalo exato de Clopper-Pearson.

Interpretação

Um intervalo de confiança de 95% não significa que há 95% de probabilidade de a proporção verdadeira estar dentro de uma faixa específica. A proporção verdadeira da população é uma constante fixa e desconhecida — o objeto aleatório é o intervalo, pois é construído a partir de uma amostra aleatória.

O significado preciso é uma afirmação sobre o procedimento: se a mesma amostragem e a mesma construção do intervalo fossem repetidas muitas vezes, cerca de 95% dos intervalos resultantes conteriam a proporção verdadeira. Um intervalo específico a contém ou não.

Pesquisas e a margem de erro

A cobertura jornalística de uma pesquisa costuma citar uma única “margem de erro, ±3 pontos percentuais”. Esse número é exatamente E=z∗p^(1−p^)/nE = z^{*}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n} a 95% de confiança. Como p^(1−p^)\hat{p}(1-\hat{p}) é máximo em p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, os institutos geralmente citam a margem para p^=0,5\hat{p} = 0{,}5, de modo que um único número cobre de forma conservadora todas as perguntas.

A margem de erro diminui com n\sqrt{n}: reduzi-la à metade exige quadruplicar o tamanho da amostra.

Tamanho da amostraMargem de erro (95%, p^=0,5\hat{p} = 0{,}5)
n = 100±9,8
n = 400±4,9
n = 1000±3,1
n = 1600±2,5

Exemplo resolvido: pesquisa de apoio

Uma pesquisa com 500 eleitores encontra 320 a favor de uma proposta.

Proporção amostral: p^=320/500=0,64\hat{p} = 320 / 500 = 0{,}64

Erro padrão: SE=0,64×0,36/500≈0,0215SE = \sqrt{0{,}64 \times 0{,}36 / 500} \approx 0{,}0215

Margem de erro a 95%: E=1,96×0,0215≈0,0421E = 1{,}96 \times 0{,}0215 \approx 0{,}0421

Intervalo de Wald:

0,64±0,0421=[0,5979, 0,6821]=[59,79 %, 68,21 %]0{,}64 \pm 0{,}0421 = [0{,}5979,\ 0{,}6821] = [59{,}79\,\%,\ 68{,}21\,\%]

O intervalo de escore de Wilson para os mesmos dados é [59,70 %, 68,09 %][59{,}70\,\%,\ 68{,}09\,\%] — quase idêntico aqui porque n=500n = 500 é grande e p^=0,64\hat{p} = 0{,}64 está longe dos extremos. Os dois intervalos divergem mais quando a amostra é pequena ou a proporção está próxima de 0 ou 1.

Interpretação: “Com base nesta amostra de 500, estimamos que entre cerca de 60% e 68% de todos os eleitores apoiam a proposta, com 95% de confiança.”

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a diferença entre o intervalo de Wald e o de Wilson?

O intervalo de Wald (p̂ ± z*·√(p̂(1−p̂)/n)) é a fórmula dos livros-texto: simples, simétrica em torno de p̂ e rápida de calcular. Funciona bem quando a amostra é grande e p̂ está perto de 0,5, mas vai mal em amostras pequenas ou proporções próximas de 0 ou 1 — pode até produzir limites abaixo de 0% ou acima de 100%. O intervalo de escore de Wilson resolve o mesmo problema invertendo o teste de escore: fica sempre entre 0 e 100%, é assimétrico e mantém a cobertura próxima do nível declarado mesmo com n pequeno. Hoje muitos estatísticos recomendam Wilson como padrão. Esta calculadora mostra os dois para você comparar.

Como isso se relaciona com a “margem de erro” de uma pesquisa?

Quando uma pesquisa informa “52% de apoio, margem de erro ±3 pontos percentuais”, esse ±3 é exatamente a margem de erro E = z*·√(p̂(1−p̂)/n) a 95% de confiança. Como p̂(1−p̂) é máximo em p̂ = 0,5, os institutos costumam citar a margem para p̂ = 0,5, de modo que um único número cobre de forma conservadora todas as perguntas da pesquisa. Informe o percentual divulgado como sucessos sobre o tamanho da amostra para reproduzir o intervalo.

Quando a aproximação normal é válida?

O intervalo de Wald apoia-se na aproximação normal da binomial, razoável quando tanto n·p̂ quanto n·(1 − p̂) são ao menos 5 (alguns textos usam 10). Com poucos sucessos ou uma proporção próxima de 0 ou 1, a aproximação falha e o intervalo de Wald torna-se pouco confiável — é justamente a situação em que se deve usar o intervalo de escore de Wilson (ou um intervalo exato de Clopper-Pearson).

Como devo interpretar o intervalo obtido?

Um intervalo de confiança de 95% de 59,79% a 68,21% não significa que há 95% de probabilidade de a proporção verdadeira estar nessa faixa — a proporção verdadeira é fixa. Significa que o procedimento que gerou este intervalo captura a proporção populacional verdadeira em 95% das vezes ao repetir a amostragem. Na prática: você pode confiar razoavelmente que a proporção verdadeira está dentro dos limites indicados, e um intervalo mais largo indica uma amostra menor ou um nível de confiança mais exigente.

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