Última atualização: 2026-07-01

O que esta calculadora faz

Esta calculadora determina os autovalores e autovetores de uma matriz 2×2. Ao informar os quatro elementos de A = [[a, b], [c, d]], ela devolve o traço, o determinante, a equação característica, os dois autovalores — reais ou complexos — e um autovetor para cada autovalor real, junto com a resolução passo a passo.

Um autovetor de A é um vetor não nulo cuja direção não muda quando a matriz age sobre ele. O fator pelo qual ele é escalado é o autovalor:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

A equação característica

Reescreve-se $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ como $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Uma solução não nula existe apenas quando a matriz $A - \lambda I$ é singular, ou seja, quando seu determinante se anula:

$\det(A - \lambda I) = 0$

Para uma matriz 2×2 isso se desenvolve em uma equação do segundo grau em $\lambda$:

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

em que o traço é $\operatorname{tr}A = a + d$ e o determinante é $\det A = ad - bc$. Esses dois invariantes determinam sozinhos ambos os autovalores.

Resolvendo para os autovalores

Aplicando a fórmula quadrática à equação característica:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

A quantidade sob a raiz, $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$, é o discriminante. Seu sinal decide a natureza dos autovalores:

• $\Delta > 0$: dois autovalores reais distintos.
• $\Delta = 0$: um autovalor real duplo.
• $\Delta < 0$: um par complexo conjugado $\alpha \pm \beta i$.

Exemplo resolvido

Tomemos a matriz simétrica [[2, 1], [1, 2]].

Primeiro o traço e o determinante:

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

A equação característica e seu discriminante:

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

Como $\Delta > 0$, os autovalores são reais:

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

Encontrando os autovetores

Para cada autovalor $\lambda$ resolve-se $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Numa matriz 2×2 as duas linhas são proporcionais, então uma única linha fixa a direção. Uma escolha confiável é $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ sempre que $b \neq 0$.

Para $\lambda_1 = 3$:

Para $\lambda_2 = 1$:

Qualquer múltiplo escalar não nulo desses vetores também é um autovetor, pois escalar um vetor não muda sua direção. Uma conferência rápida confirma $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ e $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$.

O caso complexo

Quando $\Delta < 0$, a raiz torna-se imaginária e os autovalores formam um par complexo conjugado:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

As matrizes de rotação são o exemplo clássico. A rotação de 90° [[0, −1], [1, 0]] tem traço 0 e determinante 1, de modo que $\Delta = 0 - 4 = -4$ e os autovalores são $\pm i$. Uma rotação não deixa fixa nenhuma direção real, e é exatamente por isso que não há autovetores reais: eles vivem no plano complexo.

Traço, determinante e os autovalores

Os dois invariantes se relacionam diretamente com os autovalores, o que oferece uma conferência rápida:

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

No exemplo, $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$ e $3 \cdot 1 = 3 = \det A$. Se os autovalores não reproduzem o traço e o determinante, um erro aritmético se infiltrou.

Onde os autovalores são usados

• Diagonalização: uma matriz com autovalores distintos pode ser escrita como $A = PDP^{-1}$, onde $D$ contém os autovalores, o que facilita o cálculo de potências $A^n$.
• Estabilidade: no sistema $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$, os sinais das partes reais dos autovalores determinam se as soluções crescem ou decaem.
• Direções principais: em matrizes simétricas os autovetores são ortogonais e marcam os eixos de estiramento, base da análise de componentes principais e da geometria das formas quadráticas.