Última atualização: 2026-07-02

Os focos de uma elipse

Uma elipse em posição padrão é descrita por

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

em que $a$ é o semieixo na direção x e $b$ o semieixo na direção y. Toda elipse tem dois pontos interiores especiais, seus focos. São eles que fazem de uma elipse uma elipse: para qualquer ponto da curva, a soma das distâncias aos dois focos é constante. Se você esticar um laço de barbante em torno de dois pregos e percorrê-lo com um lápis mantendo-o firme, o lápis desenha uma elipse cujos focos são os pregos.

Esta ferramenta recebe $a$ e $b$ e devolve a distância focal, os próprios focos, a excentricidade, os vértices e os comprimentos dos eixos maior e menor.

Semieixo maior e semieixo menor

O mais longo dos dois eixos é o eixo maior; o mais curto, o eixo menor. Metade de cada um é um semieixo. Para deixar as fórmulas independentes da orientação, chamamos o semieixo maior de $A$ e o menor de $B$:

$A = \max(a, b) \qquad B = \min(a, b)$

Os focos ficam sempre sobre o eixo maior. Se $a > b$ o eixo maior é horizontal; se $b > a$ é vertical.

Distância focal

A distância do centro a cada foco, $c$, vem dos semieixos:

$c = \sqrt{A^2 - B^2}$

Como $A \ge B$, a quantidade sob a raiz nunca é negativa. Numa elipse horizontal os focos ficam em $(\pm c, 0)$; numa vertical, em $(0, \pm c)$.

Excentricidade

A excentricidade mede o quanto a elipse se afasta de um círculo:

$e = \frac{c}{A}$

Ela sempre satisfaz $0 \le e < 1$. Quando $a = b$ os dois semieixos são iguais, $c = 0$ e $e = 0$: a elipse é um círculo. À medida que um eixo cresce em relação ao outro, $e$ se aproxima de $1$ e a elipse fica longa e estreita.

Vértices e comprimentos dos eixos

Os vértices são as extremidades do eixo maior, a uma distância $A$ do centro: $(\pm A, 0)$ numa elipse horizontal ou $(0, \pm A)$ numa vertical. As extremidades do eixo menor são os covértices. Os comprimentos completos dos eixos são

$\text{eixo maior} = 2A \qquad \text{eixo menor} = 2B$

Exemplo resolvido

Problema: encontrar os focos, a excentricidade e os comprimentos dos eixos de $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Passo 1 — ler os semieixos: $a^2 = 25$, então $a = 5$, e $b^2 = 9$, então $b = 3$. Como $a > b$, o eixo maior é horizontal com $A = 5$ e $B = 3$.

Passo 2 — distância focal:

$c = \sqrt{A^2 - B^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Passo 3 — focos: sobre o eixo maior horizontal, em $(\pm 4, 0)$, ou seja, $F_1 = (-4, 0)$ e $F_2 = (4, 0)$.

Passo 4 — excentricidade:

$e = \frac{c}{A} = \frac{4}{5} = 0{,}8$

Passo 5 — vértices e eixos: vértices em $(\pm 5, 0)$; eixo maior $2A = 10$, eixo menor $2B = 6$.

Assim, esta elipse tem focos $(-4, 0)$ e $(4, 0)$, excentricidade $0{,}8$ e eixos de comprimento $10$ e $6$.

Elipses verticais

Quando $b > a$ a elipse é mais alta do que larga, então o eixo maior é vertical. Os papéis simplesmente se invertem: $A = b$, $B = a$, e os focos passam para o eixo y em $(0, \pm c)$. Por exemplo, $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ tem $A = 5$ e $B = 3$, o mesmo $c = 4$ de antes, mas focos em $(0, -4)$ e $(0, 4)$. A ferramenta escolhe a orientação automaticamente conforme qual semieixo é maior.

Por que a soma das distâncias é constante

A propriedade que define a elipse, $r_1 + r_2 = 2A$, liga-se diretamente a $c$. Num vértice do eixo maior, um raio focal vale $A + c$ e o outro $A - c$, e sua soma é $2A$. Num covértice os dois raios são iguais por simetria, cada um partindo de um foco por uma distância $\sqrt{B^2 + c^2}$; igualá-la a $A$ recupera $A^2 = B^2 + c^2$, que se reorganiza como $c = \sqrt{A^2 - B^2}$. Essa única relação amarra os focos, os eixos e a excentricidade.