Última atualização: 2026-07-01

Crescimento e decaimento exponencial

Uma grandeza cresce ou decai exponencialmente quando sua taxa de variação é proporcional ao seu tamanho atual. Quanto maior ela é, mais rápido muda. Esse padrão descreve populações, saldos com juros compostos, material radioativo, concentrações de medicamentos e a propagação inicial de uma epidemia. O modelo comum por trás de todos eles é:

N = N₀ (1 ± r)^t

Aqui N₀ é o valor inicial, r é a taxa por período, t é o tempo decorrido e N é a quantidade depois desse tempo. O sinal de mais resulta em crescimento; o de menos, em decaimento.

Crescimento versus decaimento

A única diferença entre crescimento e decaimento é o sinal da taxa. No crescimento o fator (1 + r) é maior que 1, então a cada período a quantidade é ampliada e a curva sobe cada vez mais íngreme. No decaimento o fator (1 − r) fica entre 0 e 1, então a cada período a quantidade é reduzida e a curva cai em direção a zero, sem nunca alcançá-lo.

Discreto versus contínuo

Há duas formas comuns de aplicar a taxa.

O modelo discreto, N₀ (1 ± r)^t, aplica a taxa uma vez por período inteiro. Ele se ajusta a situações que mudam em passos: juros creditados uma vez por ano, uma população recenseada a cada geração, um saldo atualizado a cada mês.

O modelo contínuo, N₀ · e^(kt), aplica a taxa a cada instante, em que k é a taxa contínua e e ≈ 2,71828. Ele se ajusta a processos que mudam de forma suave o tempo todo: decaimento radioativo, juros compostos contínuos, reações químicas de primeira ordem. Com a mesma taxa nominal, o modelo contínuo cresce um pouco mais rápido, porque cada pequeno ganho começa a render imediatamente.

Tempo de duplicação e meia-vida

Como a taxa é uma porcentagem fixa, uma quantidade crescente leva sempre o mesmo tempo para dobrar, independentemente do seu tamanho atual, e uma quantidade em decaimento leva sempre o mesmo tempo para cair pela metade. Essas constantes são o tempo de duplicação e a meia-vida.

Para o modelo discreto:

• Tempo de duplicação = ln 2 ÷ ln(1 + r)
• Meia-vida = −ln 2 ÷ ln(1 − r)

Para o modelo contínuo, ambos se reduzem a ln 2 ÷ k, já que a magnitude da taxa é a mesma em qualquer direção.

Um atalho útil é a regra de 70: divida 70 pela taxa percentual para estimar o tempo de duplicação. A 5 % ao ano, dobrar leva cerca de 70 ÷ 5 = 14 anos, perto dos 14,21 anos exatos.

Exemplo resolvido

Problema: Uma cidade de 1.000 habitantes cresce 5 % ao ano. Quantas pessoas há após 10 anos e quanto tempo leva para a cidade dobrar?

Com o modelo discreto de crescimento:

N = 1000 × (1 + 0,05)^10 = 1000 × 1,62889 ≈ 1.629 pessoas

Tempo de duplicação = ln 2 ÷ ln(1,05) ≈ 0,6931 ÷ 0,04879 ≈ 14,21 anos

Assim, após uma década a população é de cerca de 1.629 e, nesse ritmo, chegará a 2.000 em pouco mais de quatorze anos.

Um exemplo de decaimento

Problema: Uma dose de 200 mg de um medicamento decai de forma contínua a uma taxa de 0,231 por hora. Quanto resta após 6 horas e qual é a sua meia-vida?

N = 200 × e^(−0,231 × 6) = 200 × e^(−1,386) ≈ 50 mg

Meia-vida = ln 2 ÷ 0,231 ≈ 3 horas

O resultado de 50 mg às 6 horas é exatamente um quarto da dose, o que faz sentido: 6 horas correspondem a duas meias-vidas, então a quantidade caiu pela metade duas vezes.

Relação com os juros compostos

O crescimento exponencial é o motor matemático dos juros compostos. O modelo discreto, com r como taxa de juros periódica, é idêntico à fórmula dos juros compostos, e o modelo contínuo corresponde aos juros compostos contínuos. Esta calculadora mantém uma abordagem geral para servir igualmente à biologia, à física e às finanças.