Última atualização: 2026-07-13

O que esta calculadora faz

Esta calculadora resolve um sistema de três equações lineares nas três incógnitas x, y e z pela eliminação de Gauss:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

Ela escreve os doze coeficientes e constantes como uma matriz aumentada, reduz essa matriz à forma escalonada com operações de linha e depois substitui regressivamente para devolver a solução (x, y, z). Quando a matriz dos coeficientes é singular, informa que o sistema não tem solução única.

A matriz aumentada

Empilhando os coeficientes e os lados direitos, obtém-se a matriz aumentada, com uma barra vertical separando o bloco de coeficientes das constantes:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]$$

Cada passo da eliminação de Gauss é uma operação de linha sobre esta matriz: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar ou somar um múltiplo de uma linha a outra. Nenhuma delas altera o conjunto de soluções.

Eliminação para frente

O objetivo da eliminação para frente é criar zeros abaixo da diagonal, coluna a coluna, até a matriz ficar triangular superior (forma escalonada).

Passo 1 — anular a coluna de x. Com o primeiro pivô a₁, subtrai-se um múltiplo da linha 1 das linhas 2 e 3:

$$m_{21} = \frac{a_2}{a_1}, \quad R_2 \to R_2 - m_{21} R_1, \qquad m_{31} = \frac{a_3}{a_1}, \quad R_3 \to R_3 - m_{31} R_1$$

Passo 2 — anular a coluna de y. Com o novo segundo pivô b₂′, subtrai-se um múltiplo da linha 2 da linha 3:

$$m_{32} = \frac{b_3'}{b_2'}, \quad R_3 \to R_3 - m_{32} R_2$$

A matriz agora é triangular superior:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ 0 & b_2' & c_2' & d_2' \\ 0 & 0 & c_3'' & d_3'' \end{array}\right]$$

Substituição regressiva

A última linha fica só em z, então é resolvida diretamente e os valores se propagam para cima:

$$z = \frac{d_3''}{c_3''}, \quad y = \frac{d_2' - c_2' z}{b_2'}, \quad x = \frac{d_1 - b_1 y - c_1 z}{a_1}$$

Como a matriz é triangular, seu determinante é simplesmente o produto dos pivôs da diagonal, $D = a_1 \cdot b_2' \cdot c_3''$. Um produto diferente de zero confirma uma solução única.

Exemplo resolvido

Vamos resolver o sistema padrão:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Passo 1 — multiplicadores e primeira varredura. Com pivô a₁ = 2:

$$m_{21} = \frac{-3}{2} = -\tfrac{3}{2}, \qquad m_{31} = \frac{-2}{2} = -1$$

Subtraindo esses múltiplos da linha 1, obtém-se

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5 \end{array}\right]$$

Passo 2 — anular a coluna de y. Com pivô b₂′ = 1/2:

$$m_{32} = \frac{2}{1/2} = 4, \qquad R_3 \to R_3 - 4 R_2$$ $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Passo 3 — substituição regressiva:

$$z = \frac{1}{-1} = -1, \quad y = \frac{1 - \tfrac{1}{2}(-1)}{1/2} = 3, \quad x = \frac{8 - (1)(3) - (-1)(-1)}{2} = 2$$

O determinante é o produto dos pivôs, $2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot (-1) = -1 \ne 0$, o que confirma a solução única (x, y, z) = (2, 3, −1).

Verificação:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Quando a eliminação trava

Duas situações interrompem a varredura limpa acima:

• Pivô zero, sistema não singular. Se um coeficiente na diagonal for zero — por exemplo, quando a primeira equação não tem termo em x —, o multiplicador dividiria por zero. A solução é o pivoteamento parcial: trocar a linha problemática por outra abaixo que tenha uma entrada diferente de zero nessa coluna e continuar. A solução não muda; muda apenas a ordem das linhas. O software numérico também troca para o maior pivô disponível a fim de limitar o erro de arredondamento.
• Pivô zero que não pode ser corrigido. Se a eliminação produzir uma linha de zeros ao longo das colunas dos coeficientes, o determinante é zero e a matriz dos coeficientes é singular. O sistema tem então infinitas soluções (as constantes são compatíveis com a dependência) ou nenhuma (a contradizem). Não existe um único (x, y, z).

Eliminação de Gauss versus regra de Cramer

Ambos os métodos dão a mesma resposta para um sistema não singular. A regra de Cramer expressa cada incógnita como razão de determinantes, elegante para um 3×3, mas custosa conforme o tamanho cresce. A eliminação de Gauss transforma todo o sistema com operações de linha e escala muito melhor: é a espinha dorsal dos solucionadores lineares das bibliotecas numéricas. Reduzir até a forma escalonada reduzida (RREF), em que cada pivô é 1 e as entradas acima também são anuladas, permite ler a solução diretamente, sem um passo de substituição separado.

Aplicações

Sistemas de três variáveis aparecem em álgebra e no pré-cálculo, na análise de circuitos com as leis de Kirchhoff em três malhas, no balanceamento de reações químicas e sempre que três condições lineares precisam valer ao mesmo tempo. A eliminação de Gauss é o método manual padrão para esses sistemas e o ponto de partida conceitual da fatoração LU e de boa parte da álgebra linear computacional.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a eliminação de Gauss?

A eliminação de Gauss é uma forma sistemática de resolver um sistema linear combinando as equações. Escrevendo o sistema como matriz aumentada, subtraem-se múltiplos de uma linha das demais para criar zeros abaixo da diagonal, até a forma triangular superior (escalonada). A última linha fica com uma única incógnita, e a substituição regressiva recupera as demais de baixo para cima.

Como ela difere da regra de Cramer?

As duas chegam à mesma solução. A regra de Cramer escreve cada incógnita como razão de determinantes, compacta para um 3×3, mas logo custosa. A eliminação de Gauss transforma o sistema inteiro com operações de linha; escala muito melhor para sistemas grandes e é o método por trás da maioria dos softwares de álgebra linear numérica. Esta ferramenta mostra os passos da eliminação, enquanto o determinante é dado como o produto dos pivôs.

Qual a diferença entre forma escalonada e escalonada reduzida?

A forma escalonada tem zeros abaixo de cada entrada líder, com aspecto triangular superior, que se conclui por substituição regressiva. A forma escalonada reduzida vai além: cada entrada líder é 1 e as de cima também são anuladas, então a solução é lida diretamente. Esta calculadora reduz à forma escalonada e depois substitui regressivamente, o caminho clássico da eliminação de Gauss.

Por que meu sistema mostra "sem solução única"?

Essa mensagem aparece quando o determinante é zero, o que significa que uma equação é combinação linear das outras. A eliminação produz então uma linha de zeros nas colunas dos coeficientes. Dependendo das constantes, o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma. A solução única só existe quando os três pivôs são diferentes de zero.

Por que trocar linhas durante a eliminação?

Se o pivô pelo qual é preciso dividir for zero, a ordem natural de eliminação falha mesmo num sistema com solução única. Trocar a linha problemática por outra abaixo (pivoteamento parcial) coloca uma entrada diferente de zero na diagonal para continuar. O software numérico também troca linhas para escolher o maior pivô disponível, mantendo pequenos os erros de arredondamento.