Última atualização: 2026-07-02

A equação de uma hipérbole

Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos cujas distâncias a dois pontos fixos — os focos — diferem por uma quantidade constante. Uma hipérbole horizontal com centro $(h, k)$ tem a forma canônica:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

O sinal de menos é o que separa uma hipérbole de uma elipse. Ele produz dois ramos separados que se abrem para a esquerda e para a direita, cada um seguindo em direção a um par de retas chamadas assíntotas. Esta calculadora parte do semieixo transverso $a$, do semieixo conjugado $b$ e do centro $(h, k)$, e retorna a distância focal, os vértices, os focos, a excentricidade e as inclinações das assíntotas.

Vértices, focos e distância focal

Os vértices são os dois pontos em que os ramos ficam mais próximos. Situam-se no eixo transverso, a uma distância $a$ do centro:

$V = (h \pm a,\ k)$

Os focos ficam mais afastados, a uma distância $c$ do centro, onde

$c = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad F = (h \pm c,\ k)$

Note que sempre $c > a$, pois $b^2 > 0$. É o oposto da relação da elipse $c = \sqrt{a^2 - b^2}$: em uma hipérbole os focos ficam além dos vértices, não dentro deles.

Assíntotas e excentricidade

Longe do centro, cada ramo acompanha uma de duas retas que passam pelo centro com inclinações $\pm b/a$:

$y = k \pm \frac{b}{a}(x - h)$

Um jeito rápido de desenhá-las à mão é traçar o retângulo central de largura $2a$ e altura $2b$ centrado em $(h, k)$; as assíntotas são suas diagonais prolongadas.

A excentricidade mede o quanto os ramos se abrem:

$e = \frac{c}{a}$

Como $c > a$, uma hipérbole sempre tem $e > 1$. (Uma elipse tem $0 \le e < 1$, e uma parábola fica exatamente em $e = 1$.)

Exemplo resolvido

Problema: descrever a hipérbole $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

Passo 1 — ler os semieixos: $a^2 = 9$ e $b^2 = 16$, então $a = 3$ e $b = 4$. O centro é $(0, 0)$.

Passo 2 — vértices: em $(\pm a, 0) = (3, 0)$ e $(-3, 0)$.

Passo 3 — distância focal:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

logo os focos são $(5, 0)$ e $(-5, 0)$.

Passo 4 — excentricidade:

$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Passo 5 — assíntotas: inclinação $\pm b/a = \pm \tfrac{4}{3}$, ou seja $y = \pm \tfrac{4}{3}x$.

Assim, esta hipérbole tem vértices $(\pm 3, 0)$, focos $(\pm 5, 0)$, excentricidade $5/3$ e assíntotas $y = \pm\tfrac{4}{3}x$.

O semi-latus rectum

Um bom ponto de conferência é a altura do ramo exatamente acima de um foco. Substituindo $x = c$ na equação obtém-se $y = \pm b^2/a$, quantidade chamada semi-latus rectum. No exemplo acima vale $16/3 \approx 5{,}33$: o gráfico passa por $(5, \pm 16/3)$, e por isso o ramo já está bastante alto ao chegar ao foco.

Como diferem o eixo transverso e o conjugado

O eixo transverso liga os dois vértices e passa pelos focos; sua semilongitude é $a$. O eixo conjugado é perpendicular a ele pelo centro; sua semilongitude é $b$. Ao contrário de uma elipse, não é exigido que $a > b$ — os ramos cruzam o eixo transverso independentemente de qual, $a$ ou $b$, seja o maior. Quando $a = b$, as assíntotas são as retas perpendiculares $y = \pm(x - h) + k$ e a hipérbole é chamada equilátera (ou retangular), com excentricidade exatamente $\sqrt{2}$.