Última atualização: 2026-06-23

Definição

A regressão linear simples modela a relação entre uma variável independente x e uma variável dependente y ajustando uma reta da forma

$\hat{y} = a + b\,x$

em que b é o coeficiente angular (a variação média de y por unidade de x) e a é o intercepto (o valor previsto de y quando x = 0). O valor ajustado ŷ é uma estimativa de y para um dado x; a diferença entre um valor observado yᵢ e seu valor ajustado, $e_i = y_i - \hat{y}_i$, é chamada de resíduo.

Mínimos quadrados

Muitas retas poderiam ser traçadas por uma nuvem de pontos. O método dos mínimos quadrados escolhe aquela que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos,

$\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - a - b\,x_i\bigr)^2.$

Elevar ao quadrado penaliza mais os desvios grandes do que os pequenos e impede que resíduos positivos e negativos se anulem. A minimização dessa soma tem solução fechada, dispensando qualquer iteração.

Fórmulas

Sejam $\bar{x}$ e $\bar{y}$ as médias de x e de y. O coeficiente angular e o intercepto de mínimos quadrados são

$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}, \qquad a = \bar{y} - b\,\bar{x}.$

O numerador de b mede como x e y variam em conjunto; o denominador é a dispersão de x. A fórmula do intercepto garante que a reta ajustada passe pelo ponto das médias $(\bar{x}, \bar{y})$.

O coeficiente de determinação

O coeficiente de determinação, $R^2$, indica a fração da variância de y explicada pela reta ajustada:

$R^2 = 1 - \frac{\sum_i (y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum_i (y_i - \bar{y})^2}.$

Ele varia de 0 (a reta não explica nenhuma variação) a 1 (a reta passa exatamente por todos os pontos). Na regressão linear simples, $R^2$ é igual ao quadrado do coeficiente de correlação de Pearson r, de modo que uma correlação forte implica um $R^2$ alto. Veja a calculadora de Calculadora do Coeficiente de Correlação de Pearson para a medida de associação relacionada.

Exemplo resolvido

Usando o conjunto de dados padrão, X = [1, 2, 3, 4, 5] e Y = [2, 4, 5, 4, 5], as médias são $\bar{x} = 3$ e $\bar{y} = 4$. As somas dos desvios resultam em $S_{xx} = \sum(x_i - \bar{x})^2 = 10$, $S_{xy} = \sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 6$ e $S_{yy} = \sum(y_i - \bar{y})^2 = 6$.

A reta ajustada ŷ = 2,2 + 0,6·x sobe 0,6 em y a cada unidade de x e explica cerca de 60% da variação de y.

Pressupostos e limites

A reta de mínimos quadrados é mais confiável quando algumas condições se verificam:

• Linearidade. Uma reta deve ser um resumo razoável do padrão. Se os pontos descrevem uma curva, um ajuste linear ainda pode produzir um $R^2$ moderado enquanto deixa de captar a tendência de forma sistemática; examine o gráfico de dispersão antes de confiar no coeficiente angular.
• Valores atípicos. Como os resíduos são elevados ao quadrado, um único ponto distante pode puxar a reta em sua direção e distorcer tanto o coeficiente angular quanto o $R^2$. Avalie os pontos extremos antes de tirar conclusões.
• Faixa de previsão. Extrapolar muito além da faixa observada de x é arriscado — a relação linear pode não valer ali, e o intercepto só é interpretável quando x = 0 está próximo dos dados.
• Correlação não é causalidade. Um bom ajuste mostra que x e y variam em conjunto; não estabelece que x cause y. Uma terceira variável oculta pode influenciar ambos. Padronizar as variáveis com um Calculadora de Escore Z ajuda a comparar efeitos, mas afirmações causais exigem um estudo controlado.

Apesar dessas ressalvas, a regressão linear simples continua sendo uma das ferramentas mais usadas em estatística, oferecendo um resumo transparente e de solução fechada de como uma variável depende de outra.