Última atualização: 2026-07-01

O que esta calculadora faz

Esta calculadora encontra o determinante de uma matriz quadrada: um único número que resume como a matriz estica, comprime ou inverte o espaço. Escolha o modo 2×2 ou 3×3, informe os elementos e o determinante é atualizado junto com uma resolução passo a passo.

O determinante de uma matriz A é escrito $\det A$ ou $|A|$.

O determinante 2×2

Para uma matriz 2×2, o determinante é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária:

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

Exemplo resolvido (2×2)

Considere a matriz [[1, 2], [3, 4]]:

$\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

O sinal negativo indica que essa transformação inverte a orientação, e o módulo 2 indica que ela dobra a área.

O determinante 3×3 pela expansão em cofatores

Para uma matriz 3×3, desenvolve-se ao longo da primeira linha. Cada elemento da primeira linha é multiplicado pelo determinante do menor 2×2 que resta ao eliminar sua linha e sua coluna, com sinais alternados + − +:

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$$

onde os menores são

$$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$$

Exemplo resolvido (3×3)

Considere a matriz [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]]:

$M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54$

$M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18$

$M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36$

Agora combine com os elementos da primeira linha e os sinais alternados:

$\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306$

A regra de Sarrus (atalho para 3×3)

Uma alternativa apenas para matrizes 3×3 é a regra de Sarrus: copie as duas primeiras colunas à direita da matriz, some os três produtos diagonais da esquerda para a direita e subtraia os três da direita para a esquerda:

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

Ela dá o mesmo resultado da expansão em cofatores. Sarrus é rápida de aplicar à mão, mas não se generaliza além de 3×3, por isso a expansão em cofatores é o método ensinado primeiro.

Quando o determinante é zero

Um determinante de zero sinaliza uma matriz singular:

• Suas linhas (e colunas) são linearmente dependentes.
• A transformação comprime o espaço sobre uma reta ou um plano, perdendo uma dimensão.
• A matriz não tem inversa.
• Um sistema linear Ax = b com A singular não tem solução ou tem infinitas.

Por exemplo, [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] tem determinante 0 porque cada linha é um passo aritmético em relação à anterior, tornando as linhas linearmente dependentes.

Significado geométrico

O determinante mede um fator de escala com sinal:

• 2×2: o determinante é igual à área com sinal do paralelogramo gerado pelos seus vetores coluna. Um determinante de 5 significa que as áreas são escaladas por 5; um de −5 significa que são escaladas por 5 e a orientação é invertida.
• 3×3: o determinante é igual ao volume com sinal do paralelepípedo gerado pelas suas três colunas.
• Um módulo de 1 significa que a área ou o volume são preservados (uma rotação ou reflexão); um módulo de 0 significa que a figura é achatada a área ou volume zero.

Propriedades úteis

• $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$ — o determinante de um produto é o produto dos determinantes.
• $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$ — transpor não altera o determinante.
• Trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
• Multiplicar uma linha por um escalar $k$ multiplica o determinante por $k$.
• O determinante de uma matriz triangular é o produto de seus elementos diagonais.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é o determinante de uma matriz?

O determinante é um único número calculado a partir de uma matriz quadrada que resume propriedades essenciais da transformação linear que ela representa. Seu valor absoluto indica o quanto a transformação escala a área (2×2) ou o volume (3×3), e seu sinal indica se a orientação é preservada ou invertida. Um determinante igual a zero significa que a matriz é singular e não tem inversa.

O que significa um determinante igual a zero?

Um determinante de zero significa que a matriz é singular: suas linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, de modo que a transformação comprime o espaço em uma dimensão menor. Uma matriz singular não tem inversa, e um sistema linear com matriz de coeficientes singular não tem solução ou tem infinitas.

Qual é a diferença entre a expansão em cofatores e a regra de Sarrus?

Ambas dão o mesmo determinante 3×3. A expansão em cofatores multiplica cada elemento da primeira linha pelo determinante do seu menor 2×2 com sinais alternados e se generaliza para qualquer tamanho.

A regra de Sarrus é um atalho que soma os três produtos diagonais da esquerda para a direita e subtrai os três da direita para a esquerda; só funciona para matrizes 3×3. Esta calculadora mostra o método dos cofatores porque ele se estende a matrizes maiores.

O que o determinante significa geometricamente?

Em uma matriz 2×2, o determinante é igual à área com sinal do paralelogramo gerado pelos seus vetores coluna. Em uma matriz 3×3, é igual ao volume com sinal do paralelepípedo gerado pelas suas três colunas. Um sinal negativo indica que a transformação inverte a orientação (uma reflexão), e um valor absoluto igual a um significa que a área ou o volume é preservado.