Última atualização: 2026-07-01

O que esta calculadora faz

Esta calculadora encontra a inversa de uma matriz 2×2. Informe os quatro elementos de A = [[a, b], [c, d]] e ela retorna o determinante e os quatro elementos de A⁻¹, junto com uma dedução passo a passo. Quando a matriz não tem inversa, ela avisa em vez de imprimir números sem sentido.

A inversa de uma matriz A é escrita $A^{-1}$ e é definida pela relação $A A^{-1} = A^{-1} A = I$, em que $I$ é a matriz identidade.

A fórmula da inversa 2×2

Para uma matriz 2×2, a inversa vem da matriz adjunta dividida pelo determinante:

Há uma forma fácil de lembrar a parte matricial: troque os dois elementos da diagonal principal ($a$ e $d$), inverta o sinal dos dois da diagonal secundária ($b$ e $c$) e divida tudo pelo determinante $ad - bc$.

O determinante vem primeiro

O determinante $\det A = ad - bc$ decide se a inversa existe. Se for diferente de zero, a fórmula acima dá a única inversa. Se for zero, a matriz é singular e não tem inversa: não existe matriz pela qual multiplicar para obter a identidade.

Exemplo resolvido

Considere a matriz [[4, 3], [6, 3]].

Primeiro o determinante:

$\det A = (4)(3) - (3)(6) = 12 - 18 = -6$

Como o determinante não é zero, a inversa existe. Aplique a fórmula:

Conferindo a resposta

Um bom hábito é multiplicar a matriz original pela inversa e confirmar que se obtém a identidade:

O produto é a matriz identidade, o que confirma que a inversa está correta. Pequenas diferenças na última casa decimal vêm apenas do arredondamento dos elementos exibidos.

Quando a inversa não existe

Uma matriz 2×2 é singular quando $ad - bc = 0$. Geometricamente, seus dois vetores coluna estão sobre a mesma reta, então a transformação achata o plano sobre uma reta e informação é perdida — não há como revertê-la. Por exemplo, [[2, 4], [1, 2]] tem determinante $(2)(2) - (4)(1) = 0$, portanto não tem inversa.

Resolver Ax = b com a inversa

Um dos principais usos da inversa é resolver um sistema linear. Se $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ e $A$ é invertível, multiplicar ambos os lados por $A^{-1}$ dá

$\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}.$

Para um sistema 2×2, esse é um caminho rápido para a solução, uma vez conhecida a inversa. Quando a matriz dos coeficientes é singular, o sistema tem ou nenhuma solução ou infinitas.

Propriedades úteis

• $(A^{-1})^{-1} = A$ — inverter duas vezes retorna a matriz original.
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ — a inversa de um produto inverte a ordem.
• $\det(A^{-1}) = 1 / \det(A)$ — o determinante da inversa é o inverso do determinante.
• $(A^{\mathsf{T}})^{-1} = (A^{-1})^{\mathsf{T}}$ — transpor e inverter comutam.