Skip to content
Gerado em: 20 de julho de 2026 às 21:34

Calculadora de distribuição binomial negativa

Entradas

Número de sucessos3
Probabilidade de sucesso0,4
Número de fracassos4

Visualização

Valor da PMF 0

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/negative-binomial-distribution

Matemática

Calculadora de distribuição binomial negativa

Calcule a probabilidade de exatamente k fracassos antes do r-ésimo sucesso, além da probabilidade acumulada, da média e da variância de uma distribuição binomial negativa.

Entradas

Parâmetros

≥ 1
0 – 1

Resultados

Insira um valor para ver os resultados.

Detalhes

Probabilidades

\begin{aligned} P(X=k) &= \binom{k+r-1}{k} \, p^r (1-p)^k \\ &= \binom{ 4+3-1 }{ 4 } \, 0,4^{ 3 } (1-0,4)^{ 4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} P(X \leq k) &= \sum_{i=0}^{k} \binom{i+r-1}{i} \, p^r (1-p)^i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{r(1-p)}{p} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4 } \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{r(1-p)}{p^2} \\ &= \dfrac{ 3(1-0,4) }{ 0,4^2 } \\ &= ? \end{aligned}

Distribuição

Valor da PMF 0

Incorporar esta calculadora

Pré-visualização

Cole este código na sua página para exibir a calculadora.

Compartilhar este cálculo

Quem abrir este link verá seus valores já preenchidos.

Compartilhar via

XFacebookLINE E-mail

Distribuição binomial negativa

A distribuição binomial negativa é uma distribuição de probabilidade discreta que modela o número de fracassos que ocorrem antes de alcançar um número fixo de sucessos em uma sequência de tentativas de Bernoulli independentes. Cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso p e é independente das demais. Ela aparece em testes de confiabilidade, análise de vendas e marketing, epidemiologia e em qualquer processo que continua até acumular um número-alvo de sucessos.

Fórmula

Esta calculadora usa a convenção de fracassos antes do sucesso: X é o número de fracassos k observados antes do r-ésimo sucesso, portanto X ≥ 0. A função de massa de probabilidade (PMF) e a função de distribuição acumulada (CDF) são:

P(X=k)=(k+r−1k) pr(1−p)k,k=0,1,2,…P(X = k) = \binom{k + r - 1}{k} \, p^{r} (1-p)^{k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots P(X≤k)=∑i=0k(i+r−1i) pr(1−p)iP(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{i + r - 1}{i} \, p^{r} (1-p)^{i}

A média e a variância de X sob esta convenção são:

μ=r(1−p)p,σ2=r(1−p)p2\mu = \frac{r(1-p)}{p}, \qquad \sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2}

Uma segunda convenção define X como o número total de tentativas necessárias para obter r sucessos (X ≥ r). Essa variável equivale a k + r, e sua média é r/p. Ambas as convenções descrevem o mesmo experimento.

Exemplo resolvido

Um inspetor de qualidade aceita um lote assim que três unidades passam na inspeção. Cada unidade passa de forma independente com probabilidade p = 0,40. Qual é a probabilidade de que exatamente quatro unidades falhem antes de a terceira unidade passar?

Usando r = 3, p = 0,40 e k = 4:

P(X=4)=(4+3−14)×0,403×0,604=15×0,064×0,1296=0,1244P(X = 4) = \binom{4 + 3 - 1}{4} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{4} = 15 \times 0{,}064 \times 0{,}1296 = 0{,}1244

Há uma probabilidade de 12,44 % de que exatamente quatro unidades falhem antes da terceira aprovação. A probabilidade acumulada de quatro falhas ou menos é:

P(X≤4)=∑i=04(i+2i)×0,403×0,60i=0,5801P(X \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{i+2}{i} \times 0{,}40^{3} \times 0{,}60^{i} = 0{,}5801

Portanto, há 58,01 % de probabilidade de que não falhem mais de quatro unidades. O número esperado de falhas é μ = 3 × 0,60 / 0,40 = 4,5, com variância σ² = 3 × 0,60 / 0,40² = 11,25 e desvio padrão σ ≈ 3,35.

Derivação da fórmula

Para que exatamente k fracassos precedam o r-ésimo sucesso:

  1. A última tentativa deve ser o r-ésimo sucesso, que ocorre com probabilidade p.
  2. Entre as k + r − 1 tentativas anteriores, exatamente k são fracassos e r − 1 são sucessos. O número de ordenações é C(k+r−1, k).
  3. Cada um desses k fracassos ocorre com probabilidade 1−p e cada um dos r − 1 sucessos com probabilidade p. Junto com o sucesso final, os resultados das tentativas contribuem com pʳ · (1−p)ᵏ.

Multiplicar a contagem de ordenações pela probabilidade dos resultados dá C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. A CDF é a soma acumulada da PMF de 0 até k.

Relação com outras distribuições

A distribuição binomial negativa generaliza a distribuição geométrica: fixando r = 1, contam-se os fracassos antes do primeiro sucesso, e P(X = k) = (1−p)ᵏ · p. De forma equivalente, uma variável binomial negativa é a soma de r variáveis geométricas independentes com a mesma probabilidade de sucesso p.

Ela é o complemento da distribuição binomial. A binomial fixa o número de tentativas e trata os sucessos como aleatórios; a binomial negativa fixa o número de sucessos e trata o número de fracassos (ou tentativas) como aleatório. Quando o número de sucessos r é grande e p está próximo de 1, a distribuição se aproxima da normal. Quando r não precisa ser inteiro, a mesma fórmula com a função gama define a distribuição de Polya, estreitamente relacionada e muito usada para modelar dados de contagem superdispersos.

Aplicações práticas

  • Controle de qualidade: modelar quantas unidades defeituosas são inspecionadas antes de encontrar um número fixo de unidades aceitáveis.
  • Vendas e marketing: estimar o número de contatos sem sucesso antes de alcançar um número definido de conversões.
  • Epidemiologia e ecologia: ajustar dados de contagem superdispersos, em que a variância excede a média, melhor do que um modelo de Poisson.
  • Engenharia de confiabilidade: calcular o número esperado de componentes com falha antes de um sistema redundante acumular peças em funcionamento suficientes.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a distribuição binomial negativa?

A distribuição binomial negativa modela o número de fracassos que ocorrem antes de alcançar um número fixo de sucessos r em uma sequência de tentativas de Bernoulli independentes. Cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso p. Por exemplo, com r = 3 e p = 0,4, a distribuição descreve quantas tentativas fracassadas ocorrem antes do terceiro sucesso.

Ao contrário da distribuição binomial, que fixa o número de tentativas e conta os sucessos, a binomial negativa fixa o número de sucessos e conta as tentativas (ou fracassos) necessárias para alcançá-lo.

Qual convenção esta calculadora usa?

Esta calculadora conta o número de fracassos k antes do r-ésimo sucesso, portanto k ≥ 0 e P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ. A média é r(1−p)/p e a variância é r(1−p)/p². Uma alternativa comum define X como o número total de tentativas necessárias para obter r sucessos; essa variável equivale a k + r, desloca o suporte para X ≥ r e a média para r/p. As duas convenções descrevem o mesmo experimento e diferem apenas pela constante r.

Em que ela difere da distribuição binomial?

A distribuição binomial fixa o número de tentativas n e trata o número de sucessos como aleatório. A binomial negativa faz o oposto: fixa o número de sucessos r e trata o número de fracassos (ou tentativas) como aleatório. Na binomial, a regra de parada é «parar após n tentativas»; na binomial negativa é «parar após r sucessos». Ambas compartilham a mesma probabilidade de sucesso p por tentativa e as mesmas hipóteses de independência.

Como ela se relaciona com a distribuição geométrica?

A distribuição geométrica é o caso particular da binomial negativa com r = 1: o número de fracassos antes do primeiro sucesso. Substituindo r = 1 em P(X = k) = C(k+r−1, k) · pʳ · (1−p)ᵏ, obtém-se P(X = k) = (1−p)ᵏ · p, a PMF geométrica. De forma equivalente, uma variável binomial negativa é a soma de r variáveis geométricas independentes com o mesmo p.

Próximas sugestões

Calculadora de Distribuição Geométrica

Calcule P(X=k), P(X≤k), a média e a variância de uma distribuição geométrica. Informe a probabilidade de sucesso e o número do ensaio desejado.

 Saiba mais
Calculadora de Probabilidade Binomial

Calcule P(X=k), P(X≤k) e P(X≥k) para uma distribuição binomial. Informe o número de ensaios, o número de sucessos e a probabilidade de sucesso por ensaio.

 Saiba mais
Calculadora de combinações — C(n, r)

Calcule combinações C(n, r): o número de formas de escolher r elementos de n sem considerar a ordem. Até n = 20.

 Saiba mais

200+ calculadoras · 10 idiomas · 100% grátis

Esta calculadora foi útil para você?

Não

Como podemos melhorar esta calculadora?
Desenvolvido por OneCalc ↗