Última atualização: 2026-07-02

A definição de parábola por foco e diretriz

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo — o foco — e de uma reta fixa — a diretriz. Essa única condição de equilíbrio é o que dá à parábola sua forma. O ponto de retorno da curva, o vértice, fica exatamente no meio entre o foco e a diretriz.

Para uma parábola que abre verticalmente (para cima ou para baixo) com vértice $(h, k)$, a forma canônica é:

$(x - h)^2 = 4p(y - k)$

O número $p$ é a distância focal — a distância com sinal do vértice ao foco. Dela decorrem todas as características da parábola:

$\text{foco} = (h,\ k + p) \qquad \text{diretriz: } y = k - p \qquad \text{eixo: } x = h$

Esta calculadora recebe o vértice junto com $p$ ou o coeficiente líder $a$, e devolve o foco, a diretriz, o eixo de simetria, a distância focal e o latus rectum, com a resolução passo a passo.

Distância focal, foco e diretriz

Como o vértice está no meio entre o foco e a diretriz, ambos ficam a uma distância $|p|$ do vértice, em lados opostos. Andando $p$ unidades ao longo do eixo $x = h$ a partir do vértice chega-se ao foco; andando $p$ no sentido contrário chega-se à diretriz.

$\text{foco} = (h,\ k + p) \qquad \text{diretriz: } y = k - p$

O sinal de $p$ define para onde a parábola abre. Se $p > 0$ ela abre para cima e o foco fica acima do vértice; se $p < 0$ abre para baixo e o foco fica abaixo.

O latus rectum

O latus rectum é a corda que passa pelo foco perpendicular ao eixo de simetria — a «largura» da parábola medida na altura do foco. Seu comprimento é:

$L = |4p|$

As extremidades do latus rectum são $(h - 2p,\ k + p)$ e $(h + 2p,\ k + p)$, um jeito rápido de marcar dois pontos adicionais na altura do foco.

A forma com coeficiente

Muitos livros escrevem uma parábola vertical como $y = a(x - h)^2 + k$. É a mesma curva — apenas resolvida para $y$. Comparando com a forma canônica, vê-se como o coeficiente líder $a$ e a distância focal $p$ se relacionam:

$a = \frac{1}{4p} \qquad \Longleftrightarrow \qquad p = \frac{1}{4a}$

Um $|a|$ grande dá uma parábola estreita com distância focal curta; um $|a|$ pequeno dá uma parábola larga com o foco longe do vértice. Como $a$ e $p$ têm sempre o mesmo sinal, qualquer um dos dois indica para onde a curva abre.

Exemplo resolvido

Problema: Encontrar o foco, a diretriz, o eixo de simetria e o latus rectum de $(x - 1)^2 = 8(y + 2)$.

Passo 1 — ler o vértice. Comparando com $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ obtém-se $h = 1$ e $k = -2$, então o vértice é $(1, -2)$.

Passo 2 — encontrar a distância focal. O coeficiente à direita é $4p = 8$, logo:

$p = \frac{8}{4} = 2$

Passo 3 — encontrar o foco. Ande $p = 2$ para cima ao longo do eixo a partir do vértice:

$\text{foco} = (h,\ k + p) = (1,\ -2 + 2) = (1,\ 0)$

Passo 4 — encontrar a diretriz. Ande $p = 2$ no sentido contrário:

$y = k - p = -2 - 2 = -4$

Passo 5 — eixo e latus rectum.

$\text{eixo: } x = h = 1 \qquad L = |4p| = |4 \cdot 2| = 8$

Assim, a parábola abre para cima com foco $(1, 0)$, diretriz $y = -4$, eixo $x = 1$ e um latus rectum de comprimento $8$. Na forma com coeficiente, a mesma curva é $y = \tfrac{1}{8}(x - 1)^2 - 2$, pois $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{8}$.

Lendo o gráfico

O gráfico enquadra o vértice $V$, o foco $F$ e a diretriz $d$ juntos para deixar visível o equilíbrio que define a curva: escolha um ponto qualquer da parábola e sua distância para baixo até a diretriz é igual à sua distância até o foco. O vértice sempre cai no meio entre $F$ e $d$, e toda a figura é simétrica em relação ao eixo $x = h$.

Observações e limitações

Esta calculadora trata parábolas verticais da forma $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, que abrem para cima ou para baixo. As parábolas horizontais $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, que abrem para a esquerda ou a direita, trocam os papéis de $x$ e $y$: seu eixo é horizontal, o foco fica em $(h + p, k)$ e a diretriz é a reta vertical $x = h - p$. A distância focal $p$ precisa ser diferente de zero — em $p = 0$ a curva degenera e não há parábola.