Última atualização: 2026-07-02

Decomposição em frações parciais

A decomposição em frações parciais reescreve uma função racional como uma soma de frações mais simples cujos denominadores são os fatores do denominador original. Para uma fração própria — cujo numerador tem grau menor que o denominador — com dois fatores lineares distintos, a decomposição toma a forma

$$\frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)} = \frac{A}{x - r_1} + \frac{B}{x - r_2}.$$

Nessa forma, a fração fica bem mais fácil de integrar, de transformar por Laplace inversa ou de desenvolver em série.

O método do encobrimento

A maneira mais rápida de achar $A$ e $B$ é o método do encobrimento (de Heaviside).

Passo 1 — Achar A. Encubra o fator $(x - r_1)$ do denominador e avalie o que resta em $x = r_1$:

$$A = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_2}\right|_{x = r_1} = \frac{p\,r_1 + q}{r_1 - r_2}.$$

Passo 2 — Achar B. Encubra o fator $(x - r_2)$ e avalie o resto em $x = r_2$:

$$B = \left.\frac{p\,x + q}{x - r_1}\right|_{x = r_2} = \frac{p\,r_2 + q}{r_2 - r_1}.$$

Por que o método funciona

Multiplique ambos os lados da decomposição por $(x - r_1)$:

$$\frac{p\,x + q}{x - r_2} = A + \frac{B\,(x - r_1)}{x - r_2}.$$

Agora faça $x = r_1$. O segundo termo contém o fator $(x - r_1)$ e se anula, restando diretamente $A = (p\,r_1 + q)/(r_1 - r_2)$. O mesmo argumento com $(x - r_2)$ isola $B$.

Exemplo resolvido

Decomponha $\dfrac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Aqui $p = 3$, $q = -1$, $r_1 = 1$, $r_2 = -2$.

$$A = \frac{3(1) - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}$$ $$B = \frac{3(-2) - 1}{-2 - 1} = \frac{-7}{-3} = \frac{7}{3}$$

Então

$$\frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{2/3}{x - 1} + \frac{7/3}{x + 2}.$$

Verificação: reunindo sobre o denominador comum,

$$\frac{2}{3}(x + 2) + \frac{7}{3}(x - 1) = \frac{2x + 4 + 7x - 7}{3} = \frac{9x - 3}{3} = 3x - 1. \checkmark$$

Um atalho útil

Para o numerador $p\,x + q$, os dois coeficientes satisfazem sempre $A + B = p$. Igualar o termo dominante do numerador recombinado obriga a que a soma de $A$ e $B$ seja o coeficiente de $x$ do numerador, servindo de verificação rápida.

São necessárias raízes distintas

A forma $A/(x - r_1) + B/(x - r_2)$ pressupõe dois fatores lineares diferentes.

Denominador	Forma correta
$(x - r_1)(x - r_2)$, distintos	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{x - r_2}$
$(x - r_1)^2$, repetido	$\dfrac{A}{x - r_1} + \dfrac{B}{(x - r_1)^2}$

A fórmula do método do encobrimento divide por $r_1 - r_2$, que é zero quando as raízes coincidem; um fator repetido precisa da segunda forma e está fora do alcance desta calculadora.

Uso na integração

O maior proveito está no cálculo. Uma função racional é incômoda de integrar diretamente, mas cada fração parcial integra-se de imediato:

$$\int \frac{A}{x - r}\,dx = A \ln|x - r| + C.$$

Assim, uma vez decomposta,

$$\int \frac{p\,x + q}{(x - r_1)(x - r_2)}\,dx = A \ln|x - r_1| + B \ln|x - r_2| + C.$$

Aplicações

• Integração de funções racionais em cálculo.
• Transformadas de Laplace inversas em equações diferenciais e teoria de controle.
• Desenvolvimentos em série e funções geradoras em combinatória.
• Processamento de sinais, em que funções de transferência se separam em termos de primeira ordem.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a decomposição em frações parciais?

A decomposição em frações parciais reescreve uma função racional como uma soma de frações mais simples cujos denominadores são os fatores do denominador original. Para uma fração própria (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) com dois fatores lineares distintos, a decomposição é A/(x − r₁) + B/(x − r₂). Nessa forma, a fração fica bem mais fácil de integrar, de transformar por Laplace inversa ou de desenvolver em série.

Como o método do encobrimento encontra A e B?

Para achar A, encubra o fator (x − r₁) do denominador e avalie o que resta em x = r₁. Como o segundo termo A·(x − r₁)/(x − r₁) só sobrevive quando o próprio fator é encoberto, todo o resto se anula nesse valor. O resultado é A = (p·r₁ + q) / (r₁ − r₂). Por simetria, B = (p·r₂ + q) / (r₂ − r₁). O método dispensa montar e resolver um sistema linear.

Por que as duas raízes devem ser distintas?

A forma A/(x − r₁) + B/(x − r₂) pressupõe dois fatores lineares diferentes. Se r₁ = r₂, o denominador é um fator repetido (x − r₁)², e a decomposição correta usa a forma A/(x − r₁) + B/(x − r₁)². A fórmula do método do encobrimento divide por (r₁ − r₂), que é zero quando as raízes coincidem, então esta calculadora exige raízes distintas.

Como isso é usado na integração?

Uma função racional é difícil de integrar diretamente, mas cada fração parcial A/(x − r) integra-se de imediato como A·ln|x − r| + C. Assim, uma vez decomposta (px + q) / ((x − r₁)(x − r₂)) em A/(x − r₁) + B/(x − r₂), a integral é A·ln|x − r₁| + B·ln|x − r₂| + C. Este é o primeiro passo padrão para integrar funções racionais em cálculo.