Triângulo de Pascal

Número de linhas N	8
Coluna k	3

Número de linhas N

Coluna k

Última atualização: 2026-07-02

Definição

O triângulo de Pascal é um arranjo triangular de números em que cada elemento é um coeficiente binomial. O topo é um único $1$ (linha $0$ ), e cada linha seguinte começa e termina com $1$ . A linha $n$ contém os coeficientes:

\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}

Esses são exatamente os números que aparecem no desenvolvimento de $(a + b)^n$ , o que coloca o triângulo no ponto de encontro entre a combinatória e a álgebra.

Construção

Cada elemento interior é a soma dos dois elementos logo acima dele. Essa é a regra de Pascal:

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Como as duas diagonais externas são sempre $1$ (há exatamente uma forma de escolher nenhum ou todos os elementos, então $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ ), todo o triângulo pode ser construído apenas com somas, a partir do topo:

Exemplo resolvido

Construa $6$ linhas e leia o elemento da coluna $k = 2$ na última linha. Com $N = 6$ , a última linha tem índice de linha $N - 1 = 5$ :

1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1

O elemento em $k = 2$ é o coeficiente binomial $\binom{5}{2}$ :

\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!\,(5-2)!} = \frac{120}{2 \cdot 6} = 10

O mesmo valor decorre da regra de Pascal usando a linha anterior ( $1, 4, 6, 4, 1$ ):

\binom{5}{2} = \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 4 + 6 = 10

Somas das linhas

Os elementos da linha $n$ sempre somam uma potência de dois:

\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n

Isso decorre diretamente do teorema binomial com $a = b = 1$ : $(1 + 1)^n = \sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ . Para a linha anterior, $1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$ , uma forma rápida de conferir se uma linha foi copiada corretamente.

Padrões

Várias sequências conhecidas se escondem no triângulo. A diagonal mais externa é toda de $1$ ; a seguinte conta os números naturais $1, 2, 3, 4, \ldots$ ; a terceira dá os números triangulares $1, 3, 6, 10, \ldots$ . Somando ao longo das diagonais pouco inclinadas surge a sequência de Fibonacci. Cada linha também é simétrica:

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

portanto lê-se da mesma maneira da esquerda para a direita e da direita para a esquerda: escolher quais $k$ elementos incluir é o mesmo que escolher quais $n - k$ deixar de fora.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é o triângulo de Pascal?

O triângulo de Pascal é um arranjo triangular de números em que cada elemento é um coeficiente binomial. O topo é um único 1 (linha 0), e cada linha seguinte começa e termina com 1. A linha n é C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n): os coeficientes que aparecem ao desenvolver (a + b)ⁿ. Por exemplo, a linha 4 é 1, 4, 6, 4, 1, que corresponde a (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Como cada elemento é construído?

Cada elemento interior é a soma dos dois elementos logo acima dele. Essa é a regra de Pascal: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Partindo do 1 no topo, é possível construir todo o triângulo apenas com somas, sem calcular nenhum fatorial. As bordas são sempre 1 porque C(n, 0) = C(n, n) = 1.

Por que cada linha soma uma potência de 2?

Os elementos da linha n somam 2ⁿ. Isso decorre do teorema binomial com a = b = 1: (1 + 1)ⁿ = Σ C(n, k) = 2ⁿ. Assim, a linha 0 soma 1, a linha 1 soma 2, a linha 2 soma 4 e a linha 10 soma 1024. É uma forma rápida de verificar se uma linha foi escrita corretamente.

Que padrões se escondem no triângulo de Pascal?

Vários. A diagonal mais externa é toda de 1; a seguinte conta 1, 2, 3, 4, … (os números naturais); a terceira dá os números triangulares 1, 3, 6, 10, …. Somando ao longo das diagonais pouco inclinadas surge a sequência de Fibonacci. Cada linha também é simétrica porque C(n, k) = C(n, n − k), então lê-se da mesma maneira da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

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