Última atualização: 2026-07-01

Coordenadas polares e retangulares

Um ponto do plano pode ser localizado de duas formas equivalentes. As coordenadas retangulares (cartesianas) (x, y) dão a distância horizontal e vertical até a origem. As coordenadas polares (r, θ) dão a distância em linha reta r a partir da origem e o ângulo θ que a reta até o ponto forma com o semieixo x positivo. Este conversor passa de um sistema para o outro nos dois sentidos, com o ângulo expresso em graus ou em radianos.

As duas descrições apontam para o mesmo lugar; qual delas é mais conveniente depende do problema. As coordenadas retangulares se adaptam a grades, telas e cálculos componente a componente, enquanto as polares se adaptam a rotações, movimento circular e tudo o que se descreve por uma distância e uma direção.

De polares para retangulares

Ao traçar a perpendicular do ponto até o eixo x, forma-se um triângulo retângulo. O raio r é a hipotenusa, o ângulo θ fica na origem e os dois catetos são exatamente as coordenadas:

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

O cosseno dá o cateto horizontal e o seno o vertical, de modo que os sinais de x e y decorrem automaticamente do quadrante de θ.

De retangulares para polares

No sentido contrário, inverte-se o triângulo. O raio é a hipotenusa, obtida pelo teorema de Pitágoras, e o ângulo é a direção do ponto:

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

O arco-tangente de dois argumentos atan2(y, x) é usado no lugar de arctan(y/x) porque a razão y/x não distingue um ponto do seu oposto: ambos dão o mesmo quociente. Ao manter x e y separados, atan2 lê seus sinais e retorna o ângulo no quadrante correto, em toda a faixa de −180° a 180° (ou de −π a π em radianos). Além disso, é definido quando x = 0, onde arctan(y/x) dividiria por zero.

Exemplo resolvido

Problema: Converter o ponto retangular (3, 4) para a forma polar.

O raio é a distância até a origem:

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

O ângulo é a direção do ponto:

θ = atan2(4, 3) ≈ 53,13°

Assim, (3, 4) torna-se (5, 53,13°). A conversão inversa confirma a ida e volta: x = 5·cos 53,13° ≈ 3 e y = 5·sin 53,13° ≈ 4.

A origem e a faixa do ângulo

A origem é o único ponto em que a forma polar é ambígua: com r = 0, o ângulo θ fica indefinido, pois qualquer direção leva ao mesmo ponto. Longe da origem, o ângulo retornado por atan2 fica entre −180° e 180°. Existem outras convenções — alguns textos dão os ângulos em [0°, 360°) —, de modo que somar 360° (ou 2π) a um ângulo negativo dá o valor positivo equivalente quando se prefere essa faixa.

Escolher graus ou radianos

Os graus e os radianos medem os mesmos ângulos: uma volta completa são 360° ou 2π, e 180° = π. Os graus são comuns em geometria, topografia e navegação; os radianos são o padrão em cálculo e física, porque deixam limpas as derivadas das funções trigonométricas. Ajuste a unidade de ângulo aos seus valores de partida e a ferramenta cuida da conversão de e para radianos.