Calculadora de fatoração em primos

Última atualização: 2026-05-19

Fatoração em números primos

Todo número inteiro maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos. Essa representação chama-se fatoração em números primos ou decomposição em fatores primos. Por exemplo:

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

Os primos 2, 3 e 5 são os "átomos" do 360 — não podem ser divididos mais. Os expoentes (3, 2 e 1) indicam quantas vezes cada primo aparece no produto.

O Teorema Fundamental da Aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética garante duas coisas:

1. Existência: Todo inteiro maior que 1 tem pelo menos uma fatoração em primos.
2. Unicidade: Essa fatoração é única, ignorando a ordem dos fatores.

Por que o 1 não é primo? Se o 1 fosse primo, haveria infinitas fatorações diferentes para o mesmo número (360 = 1 · 2³ · 3² · 5 = 1² · 2³ · 3² · 5 etc.). Excluir o 1 dos primos é o que preserva a unicidade.

Divisão por tentativa passo a passo

O método mais direto é a divisão por tentativa: testar todos os inteiros de 2 a $\sqrt{n}$ como possíveis fatores.

Exemplo com n = 360:

1. Divisível por 2? Sim: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45. O 45 é ímpar; 2 não cabe mais. Fator 2³.
2. Divisível por 3? Sim: 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5. O 5 não é divisível por 3. Fator 3².
3. Divisível por 5? Sim: 5 ÷ 5 = 1. Fator 5¹.
4. O quociente é 1 — concluído. Resultado: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Por que basta ir até $\sqrt{n}$? Se n tem um fator primo p > $\sqrt{n}$, então n/p < $\sqrt{n}$, o que significa que um fator menor deve existir. Se não se encontrar nenhum fator até $\sqrt{n}$, então n é primo.

Árvore de fatores

Uma árvore de fatores é uma forma visual de encontrar a fatoração: divide-se o número em quaisquer dois fatores e repete-se até que todos os galhos terminem em primos.

         360
        /    \
       8      45
      / \    /  \
     4   2  9    5
    / \    / \
   2   2  3   3

As folhas dão 2, 2, 2, 3, 3, 5 → 2³ · 3² · 5. Independentemente de como a árvore é construída, o resultado é sempre o mesmo — a unicidade em ação.

Contar divisores com a fatoração

Com a fatoração em mãos, o número total de divisores positivos é obtido por uma única fórmula:

$\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$

Por quê? Cada divisor de n é formado escolhendo independentemente, para cada primo $p_i$, um expoente entre 0 e $e_i$ — isso dá $(e_i+1)$ opções por primo, e as opções se multiplicam.

Divisores de 360:

$\tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

O número 360 tem exatamente 24 divisores positivos.

MDC e MMC via fatoração

Com as fatorações de dois números, o MDC e o MMC se leem diretamente:

• MDC: pegar o expoente mínimo de cada primo.
• MMC: pegar o expoente máximo de cada primo.

Exemplo: MDC e MMC de 360 e 504

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5, \qquad 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

Primo	Exp. 360	Exp. 504	mín (MDC)	máx (MMC)
2	3	3	3	3
3	2	2	2	2
5	1	0	0	1
7	0	1	0	1

$\text{MDC}(360, 504) = 2^3 \cdot 3^2 = 72, \qquad \text{MMC}(360, 504) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$

Simplificação de frações

Para reduzir $\dfrac{a}{b}$ à forma irredutível, divide-se numerador e denominador pelo $\text{MDC}(a, b)$:

$\frac{360}{504} = \frac{360 \div 72}{504 \div 72} = \frac{5}{7}$

Aplicações da fatoração em primos

Área	Uso
Criptografia (RSA)	A segurança se baseia na dificuldade de fatorar o produto de dois primos grandes
Tabelas hash	Tamanhos primos minimizam colisões
Teoria de códigos	Polinômios geradores de códigos corretores de erros
Teoria musical (afinação justa)	Os intervalos são razões de potências de 2, 3 e 5

Casos especiais

• n = 2 (o menor primo): A fatoração é o próprio 2; exatamente 2 divisores.
• n é primo: Um único fator primo; número de divisores = 2.
• n é potência de primo (ex.: 1024 = 2¹⁰): Um único primo com expoente grande; divisores = 11.
• Números altamente compostos (360, 720, 1260…): Têm mais divisores do que qualquer número menor.

Referência rápida

Conceito	Fórmula
Fatoração	$n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$
Número de primos distintos	$\omega(n) = k$
Total de divisores	$\tau(n) = \prod (e_i + 1)$
MDC de dois números	produto com expoentes mínimos
MMC de dois números	produto com expoentes máximos
Identidade MDC × MMC	$\text{MDC}(a,b) \times \text{MMC}(a,b) = a \times b$

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é fatoração em números primos?

A fatoração em números primos (ou decomposição em fatores primos) é a representação de um inteiro maior que 1 como produto de números primos. Por exemplo, 360 = 2³ · 3² · 5. O Teorema Fundamental da Aritmética garante que essa representação é única, a menos da ordem dos fatores.

Por que a fatoração prima é única?

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo inteiro maior que 1 possui exatamente uma fatoração prima (a menos da ordem dos fatores). Essa unicidade é o fundamento de conceitos como MDC, MMC e simplificação de frações, e também sustenta a segurança da criptografia RSA.

Como calcular o número de divisores a partir da fatoração?

Se n = p₁^e₁ · p₂^e₂ · … · pₖ^eₖ, o número de divisores positivos é τ(n) = (e₁+1)(e₂+1)…(eₖ+1). Para 360 = 2³ · 3² · 5¹: τ(360) = 4 · 3 · 2 = 24, portanto 360 tem exatamente 24 divisores positivos.

Qual é o maior número que esta calculadora consegue fatorar?

Esta calculadora suporta inteiros até 1.000.000.000.000 (10¹², um trilhão). O método de divisão por tentativa vai até √n, exigindo no máximo cerca de um milhão de iterações — rápido o suficiente para rodar no navegador. Para números maiores, algoritmos especializados como o método rho de Pollard ou a peneira quadrática são utilizados.