Última atualização: 2026-07-01

O que esta calculadora faz

Esta calculadora resolve um sistema de três equações lineares com três incógnitas, x, y e z:

$$a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3$$

A partir dos doze coeficientes e constantes, ela aplica a regra de Cramer para retornar a solução única (x, y, z), ou informa que o sistema não tem solução única quando a matriz dos coeficientes é singular.

Regra de Cramer para um sistema 3×3

A regra de Cramer expressa cada incógnita como uma razão de determinantes. Primeiro calcula-se o determinante da matriz dos coeficientes:

$$D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1(b_2 c_3 - c_2 b_3) - b_1(a_2 c_3 - c_2 a_3) + c_1(a_2 b_3 - b_2 a_3)$$

Quando D ≠ 0, a solução única é:

$$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$

Cada determinante do numerador é o determinante dos coeficientes com uma coluna substituída pela coluna das constantes (d₁, d₂, d₃):

$$D_x = \begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_y = \begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1 \\ a_2 & d_2 & c_2 \\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix}, \quad D_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$

Isso decorre diretamente da álgebra linear: para uma matriz não singular A, a solução de Av = d é v = A⁻¹d, e a regra de Cramer é essa inversa escrita determinante por determinante.

Significado geométrico

Cada equação descreve um plano no espaço tridimensional. Resolver o sistema equivale a encontrar o ponto onde os três planos se encontram.

• D ≠ 0 (solução única): Os três planos se cruzam em exatamente um ponto. A matriz dos coeficientes é invertível.
• D = 0 (sem solução única): Os planos não se cruzam em um único ponto. Eles compartilham uma reta comum (infinitas soluções) ou não têm ponto em comum (sem solução). A regra de Cramer não consegue dar uma resposta única nesse caso.

Exemplo resolvido

Vamos resolver o sistema padrão:

$$2x + y - z = 8 \\ -3x - y + 2z = -11 \\ -2x + y + 2z = -3$$

Passo 1 — determinante da matriz dos coeficientes:

$$D = 2\big((-1)(2) - (2)(1)\big) - 1\big((-3)(2) - (2)(-2)\big) + (-1)\big((-3)(1) - (-1)(-2)\big)$$ $$D = 2(-4) - 1(-2) + (-1)(-5) = -8 + 2 + 5 = -1$$

D ≠ 0, então existe uma solução única.

Passo 2 — resolver x (substituir a coluna de x pelas constantes):

$$D_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 \\ -11 & -1 & 2 \\ -3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-2}{-1} = 2$$

Passo 3 — resolver y (substituir a coluna de y pelas constantes):

$$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 & -1 \\ -3 & -11 & 2 \\ -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = -3 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{-3}{-1} = 3$$

Passo 4 — resolver z (substituir a coluna de z pelas constantes):

$$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 8 \\ -3 & -1 & -11 \\ -2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{-1} = -1$$

Verificação:

$$2(2) + 3 - (-1) = 8 \checkmark \quad -3(2) - 3 + 2(-1) = -11 \checkmark \quad -2(2) + 3 + 2(-1) = -3 \checkmark$$

Quando o determinante é zero

Se D = 0, as três linhas da matriz dos coeficientes são linearmente dependentes — uma equação é combinação das outras. Há duas possibilidades:

• Infinitas soluções: as constantes são compatíveis com a dependência, então os planos compartilham toda uma reta de pontos comuns.
• Sem solução: as constantes contradizem a dependência, então os planos nunca se encontram em um ponto.

A regra de Cramer só se aplica quando D ≠ 0, por isso a calculadora indica «sem solução única» assim que D = 0. Para classificar com precisão o caso degenerado, reduza a matriz aumentada por eliminação de Gauss e compare o posto da matriz dos coeficientes com o da matriz aumentada.

Aplicações

Sistemas lineares de três variáveis aparecem nos cursos de álgebra e pré-cálculo, na análise de circuitos (leis de Kirchhoff em três malhas), no balanceamento de reações químicas e em qualquer situação em que três condições lineares precisem valer ao mesmo tempo. A regra de Cramer dá uma resposta direta em forma fechada, o que a torna conveniente para conferir um sistema pequeno ou expressar uma solução de forma simbólica.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que o determinante me diz?

O determinante D da matriz dos coeficientes decide se o sistema tem uma resposta única. Quando D ≠ 0, os três planos se cruzam em exatamente um ponto, então x, y e z ficam determinados de forma única. Quando D = 0, os planos estão dispostos de modo que compartilham uma reta inteira ou nenhum ponto em comum, e a regra de Cramer não consegue retornar uma única solução.

Qual é a diferença entre a regra de Cramer e a eliminação?

A eliminação de Gauss e a substituição chegam ao mesmo resultado por operações de linha passo a passo. A regra de Cramer, por sua vez, escreve cada incógnita diretamente como uma razão de determinantes: x = Dₓ/D, y = D_y/D, z = D_z/D. É conveniente para obter uma expressão fechada e para sistemas que você quer avaliar de forma simbólica, embora a eliminação costume ser mais rápida em sistemas maiores.

Por que meu sistema mostra «sem solução única»?

Essa mensagem aparece sempre que D = 0. As três equações são então linearmente dependentes: pelo menos uma é combinação das outras. Dependendo dos termos independentes, o sistema tem infinitas soluções (os planos compartilham uma reta) ou nenhuma (os planos nunca se encontram em um ponto comum). A regra de Cramer só se aplica quando D ≠ 0, por isso ela para aqui.

Como posso conferir a solução?

Substitua os valores obtidos de x, y e z nas três equações originais. Cada lado esquerdo deve ser igual ao seu lado direito (d₁, d₂, d₃). Como a solução é calculada a partir de razões exatas de determinantes, um pequeno arredondamento nas casas decimais exibidas é normal; os valores internos satisfazem as equações com precisão total.