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Gerado em: 20 de julho de 2026 às 21:34

Calculadora de distribuição uniforme

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F(s)
s F(s)

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/uniform-distribution

Matemática

Calculadora de distribuição uniforme

Calcule a densidade de probabilidade, a média, a variância e a probabilidade de intervalo P(c ≤ X ≤ d) de uma distribuição uniforme contínua em [a, b]. Informe os limites e o intervalo.

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F(s)
s F(s)
\begin{aligned} P(c \le X \le d) &= \dfrac{d - c}{b - a} \\ &= \dfrac{(5) - (2)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} F(c) = P(X \le c) &= \dfrac{c - a}{b - a} \\ &= \dfrac{(2) - (0)}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \mu &= \dfrac{a + b}{2} \\ &= \dfrac{(0) + (10)}{2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \dfrac{(b - a)^2}{12} \\ &= \dfrac{(10 - (0))^2}{12} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} f(x) &= \dfrac{1}{b - a} \\ &= \dfrac{1}{10 - (0)} \\ &= ? \end{aligned}

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Calculadora de distribuição uniforme

A distribuição uniforme contínua é o modelo de probabilidade contínuo mais simples: todos os valores de um intervalo [a, b] são igualmente prováveis e nada fora dele pode ocorrer. Ela descreve de forma natural «um valor em algum ponto entre esses limites, sem preferência»: um erro de arredondamento, um instante de chegada aleatório dentro de uma janela fixa ou um ponto aleatório sobre um segmento. A partir dos dois limites e de um intervalo [c, d], esta calculadora retorna a densidade de probabilidade, a média, a variância, a probabilidade acumulada P(X ≤ c) e a probabilidade de intervalo P(c ≤ X ≤ d).

A distribuição uniforme

A distribuição fica completamente descrita por dois parâmetros:

  • a — o mínimo, o menor valor que X pode assumir
  • b — o máximo, o maior valor que X pode assumir

Como a probabilidade é distribuída de modo uniforme, a função de densidade é constante em [a, b] e zero fora dele:

f(x)={1b−aa≤x≤b0caso contraˊriof(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{caso contrário} \end{cases}

A densidade precisa integrar 1 sobre o intervalo de largura (b − a), o que fixa a altura constante em exatamente 1 / (b − a).

Distribuição acumulada

A função de distribuição acumulada (CDF) dá a probabilidade de X ser menor ou igual a um valor x. Para a distribuição uniforme é uma reta que sobe de 0 em a até 1 em b:

F(x)=P(X≤x)=x−ab−a,a≤x≤bF(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b

Abaixo de a vale 0, acima de b vale 1. É essa rampa linear que o gráfico traça.

Probabilidade de intervalo

A probabilidade de X cair entre c e d é a fração da largura total coberta pelo intervalo [c, d]:

P(c≤X≤d)=F(d)−F(c)=d−cb−aP(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}

Quando c ou d fica fora de [a, b], é limitado ao extremo antes da medição, de modo que a probabilidade nunca ultrapassa 1.

Média e variância

Como a distribuição é simétrica, o valor esperado fica no ponto médio:

μ=a+b2\mu = \frac{a + b}{2}

A variância mede a dispersão. Para a distribuição uniforme contínua é:

σ2=(b−a)212\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}

O desvio padrão é, portanto, (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Dobrar a largura do intervalo quadruplica a variância.

GrandezaFórmula
Densidade f(x)1 / (b − a)
Média μ(a + b) / 2
Variância σ²(b − a)² / 12
CDF F(x)(x − a) / (b − a)

Exemplo resolvido

Um ônibus chega a um ponto em um instante distribuído uniformemente entre a = 0 e b = 15 minutos após você chegar. Qual é a probabilidade de esperar entre c = 2 e d = 5 minutos?

Primeiro a densidade:

f(x)=115−0=115≈0,0667f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0{,}0667

A probabilidade de intervalo:

P(2≤X≤5)=5−215−0=315=0,2P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0{,}2

Portanto, há 20% de chance de a espera cair nessa janela. A espera esperada é:

μ=0+152=7,5 minutos\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7{,}5 \text{ minutos}

com variância:

σ2=(15−0)212=22512=18,75\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18{,}75

o que dá um desvio padrão de cerca de 4,33 minutos.

Densidade não é probabilidade

O valor f(x) = 1 / (b − a) é uma densidade, não uma probabilidade, e pode ser maior que 1 quando o intervalo é estreito: para a = 0, b = 0,5 a densidade é 2. Isso é normal: uma densidade só se torna probabilidade depois de multiplicada por uma largura. A probabilidade de um único valor exato é zero, então P(c ≤ X ≤ d) é igual a P(c < X < d); os extremos não contribuem.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é uma distribuição uniforme contínua?

Uma distribuição uniforme contínua atribui a mesma probabilidade a todos os valores de um intervalo [a, b] e probabilidade zero fora dele. Como a densidade é plana, dois subintervalos de mesma largura são igualmente prováveis. Ela modela situações em que um resultado é igualmente provável em qualquer ponto dentro de limites conhecidos, como o erro de arredondamento de uma medição ou um instante de chegada aleatório em uma janela fixa.

Qual é a diferença entre a densidade e a acumulada aqui?

A função de densidade (PDF) é constante, f(x) = 1 / (b − a), e representa densidade, não probabilidade. A função de distribuição acumulada (CDF), F(x) = (x − a) / (b − a), é uma reta que cresce de 0 em a até 1 em b e dá a probabilidade de X ser menor ou igual a x. A probabilidade de intervalo P(c ≤ X ≤ d) é igual a F(d) − F(c).

Como se calculam a média e a variância de uma distribuição uniforme?

A média é o ponto médio do intervalo, μ = (a + b) / 2, pois a distribuição é simétrica. A variância é σ² = (b − a)² / 12; o desvio padrão é então (b − a) / √12 ≈ 0,2887 × (b − a). Ampliar o intervalo aumenta a variância de forma quadrática.

Qual é a probabilidade de um único valor exato?

Em qualquer distribuição contínua, incluindo a uniforme, a probabilidade de um único valor exato é zero. Apenas intervalos carregam probabilidade diferente de zero. Por isso P(c ≤ X ≤ d) usa a largura do intervalo: as extremidades c e d em si não contribuem, de modo que P(c ≤ X ≤ d) é igual a P(c < X < d).

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