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Gerado em: 20 de julho de 2026 às 21:34

Calculadora de projeção de vetores

Entradas

a — componente x3
a — componente y4
a — componente z0
b — componente x1
b — componente y0
b — componente z0

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/vector-projection

Matemática

Calculadora de projeção de vetores

Projete o vetor a sobre o vetor b: projeção escalar, componentes da projeção vetorial e a componente perpendicular (rejeição). Funciona em 2D (deixe z = 0) e em 3D, com desenvolvimento passo a passo.

Entradas

Vetor a (projetado)

Vetor b (direção)

Resultados

Insira um valor para ver os resultados.

Detalhes

Desenvolvimento passo a passo

\begin{aligned} \operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} \\ &= \frac{?}{?} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_x &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_x \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(1) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_y &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_y \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} p_z &= \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\, b_z \\ &= \frac{?}{{\text{?}}}(0) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_x &= a_x - p_x \\ &= 3 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_y &= a_y - p_y \\ &= 4 - (?) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} r_z &= a_z - p_z \\ &= 0 - (?) \\ &= ? \end{aligned}

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Projeção de vetores

Projetar um vetor a sobre um vetor b responde a uma pergunta simples: quanto de a aponta na direção de b? A resposta vem em duas formas — um único número (a projeção escalar) e um vetor completo (a projeção vetorial). Junto com a rejeição, elas decompõem a em uma parte ao longo de b e uma parte perpendicular a ele.

Projeção escalar

A projeção escalar de a sobre b é o comprimento com sinal de a medido ao longo da direção de b:

comp⁡ba=a⋅b∣b∣\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}

É positiva quando a se inclina no mesmo sentido de b, zero quando são perpendiculares e negativa quando a aponta no sentido oposto.

Projeção vetorial

A projeção vetorial é um vetor que aponta ao longo de b e cujo comprimento é igual ao valor absoluto da projeção escalar:

proj⁡ba=a⋅bb⋅b b=a⋅b∣b∣2 b\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}\,\mathbf{b} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^2}\,\mathbf{b}

O coeficiente a⋅bb⋅b\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}} redimensiona b para que o resultado fique exatamente «abaixo» da ponta de a.

A rejeição

A rejeição é o que sobra de a depois de remover a projeção:

rej⁡ba=a−proj⁡ba\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \mathbf{a} - \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}

Ela é perpendicular a b, de modo que a projeção e a rejeição são ortogonais e, somadas, reconstroem o vetor original: a=proj⁡ba+rej⁡ba\mathbf{a} = \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} + \operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}.

Exemplo resolvido

Sejam a = (3, 4, 0) e b = (1, 0, 0).

Primeiro os produtos escalares:

a⋅b=(3)(1)+(4)(0)+(0)(0)=3,b⋅b=12+02+02=1\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (3)(1) + (4)(0) + (0)(0) = 3, \qquad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1

O módulo de b é ∣b∣=1=1|\mathbf{b}| = \sqrt{1} = 1, então a projeção escalar é:

comp⁡ba=31=3\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{3}{1} = 3

A projeção vetorial usa o coeficiente 31=3\frac{3}{1} = 3:

proj⁡ba=3 (1,0,0)=(3,0,0)\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = 3\,(1, 0, 0) = (3, 0, 0)

E a rejeição é o resto perpendicular:

rej⁡ba=(3,4,0)−(3,0,0)=(0,4,0)\operatorname{rej}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = (3, 4, 0) - (3, 0, 0) = (0, 4, 0)

Como esperado, (3, 0, 0) e (0, 4, 0) são perpendiculares e somados reconstroem (3, 4, 0).

2D e 3D

As mesmas fórmulas valem em qualquer dimensão. Para um problema plano em 2D, deixe as componentes z em 0 e leia os resultados em x e y; a saída z permanece 0.

A analogia com o trabalho

Na física, o trabalho de uma força constante é o produto escalar entre força e deslocamento:

W=F⋅d=∣F∣ ∣d∣cos⁡θW = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta

É o módulo da força vezes a projeção escalar do deslocamento sobre a força. Apenas a parte da força alinhada com o movimento realiza trabalho; a parte perpendicular (a rejeição) não contribui. A mesma ideia decompõe o peso de um objeto em uma rampa em uma componente que o faz deslizar pela inclinação e outra que o pressiona contra a superfície.

Aplicações

  • Ortogonalização de Gram-Schmidt: subtrair a projeção de cada vetor sobre os anteriores para construir uma base ortogonal.
  • Ajuste por mínimos quadrados: a melhor aproximação de um ponto em um subespaço é a sua projeção sobre esse subespaço.
  • Computação gráfica: projetar uma direção de luz ou de visão sobre uma superfície determina o sombreamento e o comprimento das sombras.
  • Decomposição de forças: separar uma força em componentes ao longo e através de uma direção, como em um plano inclinado.

Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a diferença entre projeção escalar e projeção vetorial?

A projeção escalar comp_b(a) = (a · b) / |b| é um único número com sinal: o quanto a se estende ao longo da direção de b. A projeção vetorial proj_b(a) = ((a · b) / (b · b)) b é um vetor completo: aponta ao longo de b e tem comprimento igual ao valor absoluto da projeção escalar. Em resumo, a projeção escalar responde "quanto" e a vetorial "quanto e em qual direção".

Como projetar um vetor sobre outro?

Calcule o produto escalar a · b e o quadrado do módulo b · b = |b|². A projeção escalar é (a · b) / |b|. A projeção vetorial é o coeficiente (a · b) / (b · b) multiplicado por b. Para a = (3, 4) e b = (1, 0): a · b = 3, |b| = 1, então a projeção escalar é 3 e a vetorial é (3, 0).

O que é a rejeição vetorial?

A rejeição é a parte de a que sobra após remover sua projeção sobre b: a − proj_b(a). Ela é perpendicular a b, de modo que a projeção e a rejeição decompõem a em duas partes ortogonais que, somadas, retornam a. Essa decomposição é a base do processo de Gram-Schmidt e da decomposição de uma força em componentes ao longo e através de uma superfície.

Onde as projeções são usadas na física?

O trabalho de uma força constante é W = F · d = |F| |d| cos θ, ou seja, o módulo da força vezes a projeção escalar do deslocamento ao longo da força. Apenas a componente da força na direção do movimento realiza trabalho; a componente perpendicular (a rejeição) não contribui. As projeções também decompõem o peso de um objeto em um plano inclinado em componentes ao longo e normal à superfície.

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