Última atualização: 2026-06-23

Teorema de Bayes

O teorema de Bayes é uma regra para atualizar uma probabilidade quando surge uma nova evidência. Ele parte de uma crença inicial sobre quão provável algo é, combina-a com a força com que a evidência aponta em uma direção ou outra e devolve uma crença revisada. Esta calculadora aplica o teorema ao caso mais comum — um exame diagnóstico — convertendo a prevalência de uma condição e a acurácia de um exame na probabilidade de um resultado positivo ser verdadeiro.

Probabilidade condicional

Uma probabilidade condicional $P(A|B)$ é a probabilidade de $A$ ser verdadeiro dado que $B$ foi observado. Ela difere da probabilidade simples $P(A)$ porque a observação de $B$ carrega informação. Um exame médico positivo não torna uma doença certa; ele desloca a probabilidade para cima em uma medida que depende tanto da qualidade do exame quanto de quão comum a doença era de início. A calculadora de Calculadora de Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes trabalha diretamente com $P(A \cap B)$ e $P(B)$ quando esses valores são conhecidos.

A fórmula

O teorema de Bayes relaciona as duas direções condicionais:

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

Cada termo tem um nome:

• A probabilidade a priori $P(A)$ é a probabilidade de $A$ antes da evidência — para um exame, a prevalência da condição.
• A verossimilhança $P(B|A)$ é quão provável é a evidência quando $A$ vale — a sensibilidade do exame, ou taxa de verdadeiros positivos.
• A marginal (ou evidência) $P(B)$ é a probabilidade global de observar a evidência, considerando os casos em que $A$ é verdadeiro e aqueles em que não é. Ela se expande para $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$, em que $P(B|\lnot A)$ é a taxa de falsos positivos.
• A posterior $P(A|B)$ é o resultado: a probabilidade de $A$ depois da evidência.

A falácia da taxa de base

O erro mais comum na leitura de um resultado de exame é confundir a acurácia do exame com a probabilidade de um positivo ser verdadeiro. São perguntas diferentes e, quando a condição é rara, têm respostas muito diferentes. Um exame com 90% de sensibilidade e 95% de especificidade soa confiável, mas, se apenas 1 em cada 100 pessoas tem a condição, a pequena taxa de falsos positivos incide sobre as 99 pessoas saudáveis — e há tantas delas que os alarmes falsos superam os verdadeiros positivos várias vezes. Ignorar a prevalência dessa forma é o que se chama de falácia da taxa de base.

Exemplo resolvido

Suponha que uma condição atinja 1% da população examinada, que o exame identifique 90% dos casos reais e que sinalize erroneamente 5% das pessoas saudáveis. A probabilidade a priori é uma prevalência de 0,01, a sensibilidade é 0,90 e a taxa de falsos positivos é 0,05:

Assim, um resultado positivo eleva a probabilidade da condição de 1% para cerca de 15%. O exame mudou bastante o quadro — em quinze vezes — mas um único positivo ainda deixa o resultado mais provavelmente falso do que verdadeiro. É por isso que a triagem de condições raras costuma ser seguida por um segundo exame, mais específico, em vez de tratada como conclusiva.

Extensões

O mesmo teorema pode ser escrito na forma de chances (odds), que muitas vezes facilita o raciocínio sobre a atualização: as chances posteriores equivalem às chances a priori multiplicadas pela razão de verossimilhança $P(B|A) / P(B|\lnot A)$. No exemplo acima, as chances a priori são de um para noventa e nove e a razão de verossimilhança é dezoito, resultando em chances posteriores de dezoito para noventa e nove, ou cerca de 15% — a mesma resposta. A calculadora de Calculadora de Razão de Chances compara duas dessas razões diretamente.

O teorema de Bayes também admite atualização sequencial: após um exame, a posterior passa a ser a priori do próximo. Dois exames positivos independentes, aplicados um após o outro, elevam a probabilidade muito acima do que qualquer um isoladamente — que é exatamente como os exames confirmatórios conquistam sua confiança. Sempre que a evidência se acumula passo a passo, a mesma regra se aplica em cada etapa, com a conclusão de ontem servindo de ponto de partida hoje.