Última atualização: 2026-07-01

Definição

O teorema binomial expande uma potência de uma soma de dois termos em uma soma de termos:

Cada termo une um coeficiente binomial $\binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ a $a$ elevado a $(n-k)$ e $b$ elevado a $k$. Quando $k$ vai de $0$ a $n$, a potência de $a$ cai de $n$ a $0$ enquanto a de $b$ sobe de $0$ a $n$, de modo que os dois expoentes sempre somam $n$.

Termo geral

O termo de índice $k$ (contado a partir de $0$) é:

É o que o campo do índice do termo calcula. Com $k = 0$ obtém-se o termo inicial $a^n$; com $k = n$, o termo final $b^n$. Ler um termo por vez é prático quando basta um coeficiente específico ou o termo que carrega uma dada potência, sem escrever toda a expansão.

Exemplo resolvido

Tomamos $(2 + 3)^4$ e lemos o termo em $k = 2$. Primeiro o coeficiente:

Depois o termo completo $T_3 = \binom{4}{2}\, a^{\,n-k}\, b^{\,k}$:

A expansão completa é $(2 + 3)^4 = 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625$, que coincide com $5^4$ como verificação.

Coeficientes e triângulo de Pascal

Os coeficientes $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ formam a linha $n$ do triângulo de Pascal, com o vértice contado como linha $0$. Obedecem à recorrência:

cada entrada é, portanto, a soma das duas logo acima. Para $(a + b)^3$ a linha é $1, 3, 3, 1$; para $(a + b)^4$ é $1, 4, 6, 4, 1$. O gráfico de coeficientes acima traça essa linha diretamente.

Simetria

Os coeficientes binomiais são simétricos:

então uma linha se lê igual de frente para trás. Isso reflete o fato de que escolher quais $k$ fatores contribuem com um $b$ equivale a escolher quais $n-k$ fatores contribuem com um $a$.

Soma dos coeficientes

Fazendo $a = b = 1$, o teorema reduz-se a uma identidade compacta:

Os coeficientes de qualquer linha somam, assim, uma potência de dois: a linha de $n = 3$ soma $8$ e a de $n = 6$ soma $64$. Com $a = 1, b = -1$ obtém-se a soma alternada, igual a $0$ para todo $n \geq 1$.

Aplicações comuns

• Álgebra: expansão de polinômios e simplificação de expressões elevadas a uma potência.
• Probabilidade: os coeficientes sustentam a distribuição binomial, em que $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ é a probabilidade de $k$ sucessos em $n$ tentativas.
• Aproximação: para $x$ pequeno, manter os dois primeiros termos de $(1 + x)^n$ dá a estimativa $1 + nx$.
• Combinatória: identidades como a soma da linha $2^n$ e a soma alternada $0$ decorrem diretamente do teorema.

Notas práticas

Expoente inteiro necessário. A forma acima supõe que $n$ é um número inteiro. Expoentes fracionários ou negativos usam a série binomial generalizada, uma soma infinita que é outro tema.

Termos inicial e final. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, logo o primeiro e o último coeficiente de toda expansão valem $1$.

Para os coeficientes sozinhos — os valores «$n$ escolhe $k$» sem as potências de $a$ e $b$ — usa-se a Calculadora de combinações — C(n, r).