Calculadora de covariância

Valores de X	1, 2, 3, 4, 5
Valores de Y	2, 4, 5, 4, 5

Valores de X

1, 2, 3, 4, 5

Valores de Y

2, 4, 5, 4, 5

Resultados

Covariância amostral	1,5
$\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}$
Covariância populacional	1,2
$\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}$
Média de X	3
Média de Y	4
Quantidade	5

Covariância amostral

1,5

\begin{aligned} s_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n - 1} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5 - 1} \\ &= 1,5 \end{aligned}

Covariância populacional

1,2

\begin{aligned} \sigma_{xy} &= \dfrac{\sum_{i}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{n} \\ &= \dfrac{{\text{?}}}{5} \\ &= 1,2 \end{aligned}

Média de X

Média de Y

Quantidade

Última atualização: 2026-07-02

O que a covariância mede

A covariância mede como duas variáveis mudam juntas. Se valores maiores de uma variável tendem a acompanhar valores maiores da outra, a covariância é positiva; se valores maiores de uma acompanham valores menores da outra, é negativa. Uma covariância próxima de zero indica pouca relação linear.

Para observações emparelhadas (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), a covariância é construída a partir dos produtos dos desvios emparelhados: a distância de cada valor de x em relação à média de X multiplicada pela distância do valor de y correspondente em relação à média de Y:

Σ(xi − x̄)(yi − ȳ)

Dividir essa soma por n dá a covariância populacional; dividi-la por n − 1 dá a covariância amostral.

Covariância populacional versus amostral

Há duas fórmulas que diferem apenas no denominador:

Covariância populacional: σxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / n
Covariância amostral: sxy = Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) / (n − 1)

Use a forma populacional quando seus dados abrangem todos os membros do grupo de interesse. Use a forma amostral — o padrão na maioria dos softwares estatísticos — quando os dados são uma amostra extraída de uma população maior. O divisor n − 1, conhecido como correção de Bessel, compensa a leve subestimação que surge porque as médias x̄ e ȳ são estimadas a partir da mesma amostra.

Exemplo resolvido

Suponha que um pequeno estudo registre as horas de estudo (X) e as notas de uma prova (Y) de cinco estudantes:

X = 1, 2, 3, 4, 5
Y = 2, 4, 5, 4, 5

Passo 1 — médias. x̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 3 e ȳ = (2 + 4 + 5 + 4 + 5) / 5 = 4.

Passo 2 — produtos dos desvios. Calcule cada (xi − x̄)(yi − ȳ):

(1 − 3)(2 − 4) = (−2)(−2) = 4
(2 − 3)(4 − 4) = (−1)(0) = 0
(3 − 3)(5 − 4) = (0)(1) = 0
(4 − 3)(4 − 4) = (1)(0) = 0
(5 − 3)(5 − 4) = (2)(1) = 2

Passo 3 — soma. Σ(xi − x̄)(yi − ȳ) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6.

Passo 4 — dividir. Covariância populacional = 6 / 5 = 1,2. Covariância amostral = 6 / (5 − 1) = 6 / 4 = 1,5.

O resultado positivo confirma que, nesses dados, as horas de estudo e as notas tendem a subir juntas.

Como a covariância se relaciona com a correlação

A covariância indica a direção de uma relação linear, mas não sua força de forma comparável, porque seu tamanho depende das unidades e da escala dos dados. O coeficiente de correlação corrige isso dividindo a covariância pelo produto dos dois desvios padrão, reescalonando o resultado para que fique sempre entre −1 e +1.

Em resumo: a covariância é a medida não normalizada, e a correlação é sua contraparte padronizada e sem unidade. Quando quiser julgar quão estreitamente duas variáveis se movem juntas, calcule o coeficiente de correlação; quando precisar da medida bruta — por exemplo, para montar uma matriz de covariância —, use a covariância diretamente.

Interpretar o sinal e a magnitude

O sinal da covariância é significativo por si só:

Positivo: as variáveis tendem a se mover na mesma direção.
Negativo: as variáveis tendem a se mover em direções opostas.
Próximo de zero: pouca relação linear.

A magnitude, por outro lado, não é diretamente interpretável, pois carrega o produto das unidades das duas variáveis. Uma covariância medida em quilogramas-centímetros não pode ser comparada a uma medida em reais por ano. Para comparar forças entre conjuntos de dados, converta sempre para o coeficiente de correlação.

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Perguntas frequentes (FAQ)

Qual é a diferença entre covariância amostral e populacional?

Ambas medem como duas variáveis variam juntas, mas diferem no denominador. A covariância populacional divide a soma dos produtos dos desvios por n, tratando os dados como a população completa. A covariância amostral divide, em vez disso, por n − 1 — a correção de Bessel —, que compensa o fato de uma amostra tender a subestimar a dispersão real quando as médias são estimadas a partir dos mesmos dados.

Use a forma populacional apenas quando os dados cobrirem todos os membros do grupo de interesse. Na prática, os dados costumam ser uma amostra extraída de uma população maior, de modo que a covariância amostral (÷ n − 1) é a escolha adequada e é o valor que a maioria dos softwares estatísticos informa por padrão.

Como a covariância se relaciona com o coeficiente de correlação?

O coeficiente de correlação é uma covariância padronizada. Ele divide a covariância pelo produto dos dois desvios padrão, reescalonando o resultado para que fique sempre entre −1 e +1. Isso torna a correlação comparável entre conjuntos de dados com unidades e dispersões diferentes, o que a covariância não permite.

Por isso, a covariância indica a direção da relação (positiva, negativa ou nenhuma), mas não sua força em sentido absoluto: uma covariância grande pode significar apenas que as variáveis têm unidades grandes. Se você quer uma medida sem unidade de quão fortemente duas variáveis se relacionam, calcule o coeficiente de correlação.

O que o sinal da covariância indica?

Uma covariância positiva significa que as duas variáveis tendem a se mover na mesma direção: quando X está acima de sua média, Y também tende a estar acima da sua. Uma covariância negativa significa que se movem em direções opostas — X acima da média se associa a Y abaixo da média. Uma covariância próxima de zero indica pouca relação linear.

A magnitude, por outro lado, não é interpretável isoladamente, pois depende das unidades e da escala dos dados. Para julgar a força da relação, observe o coeficiente de correlação em vez do valor bruto da covariância.

Quais são as unidades da covariância?

A covariância carrega o produto das unidades das duas variáveis. Se X for medido em quilogramas e Y em centímetros, a covariância é expressa em quilogramas-centímetros. Por isso o número bruto é difícil de interpretar e não pode ser comparado diretamente entre pares de variáveis diferentes.

O coeficiente de correlação resolve isso eliminando as unidades e produzindo um número adimensional entre −1 e +1. Quando precisar de um valor comparável ou interpretável como força, use a correlação; use a covariância quando precisar especificamente da medida não normalizada, por exemplo como elemento de uma matriz de covariância.

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