Última atualização: 2026-07-01

A média harmônica

A média harmônica de n números positivos é a quantidade dividida pela soma dos inversos dos valores. Para os valores x₁, x₂, …, xₙ, a média harmônica H é:

H = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)

De forma equivalente, é o inverso da média aritmética dos inversos. Enquanto a média aritmética soma os valores diretamente, a média harmônica trabalha no espaço dos inversos — e é justamente por isso que é a média correta para taxas.

Quando usar a média harmônica

A média harmônica é a média apropriada sempre que os dados forem taxas ou razões com uma quantidade fixa no numerador. As aplicações mais comuns são:

Velocidade média em distâncias iguais. Velocidade é distância por unidade de tempo. Quando as distâncias percorridas em cada velocidade são iguais, a velocidade média geral é a média harmônica das velocidades individuais, e não a aritmética.

Índice preço/lucro e outras razões financeiras. Ao fazer a média de P/L entre empresas — ou ao construir um índice a partir delas — a média harmônica evita a distorção que algumas razões muito altas introduziriam em uma média aritmética.

Taxas e densidades em física e engenharia. Resistências em paralelo, taxas efetivas de trabalho de tarefas feitas em conjunto e números de consumo (distância por unidade de combustível) se combinam por meio de inversos, o que torna a média harmônica o resumo correto.

Regra simples: se os dados são taxas expressas como "algo por unidade" e esse algo se mantém constante, a média harmônica fornece a verdadeira taxa global.

Exemplo resolvido

Uma van de entrega percorre uma rota fixa a 2 km/h, depois 4 km/h e depois 8 km/h em três trechos de igual comprimento. A velocidade média de toda a rota é a média harmônica das três velocidades:

• Soma dos inversos: 1/2 + 1/4 + 1/8 = 0,875
• Média harmônica: 3 / 0,875 = 24/7 ≈ 3,43 km/h

Compare com a média aritmética (2 + 4 + 8) / 3 ≈ 4,67 km/h. O valor aritmético é alto demais porque se passa mais tempo nos trechos lentos; a média harmônica leva em conta corretamente esse tempo adicional.

Por que a velocidade média é uma média harmônica

Considere uma viagem de ida e volta com distâncias iguais a 60 km/h na ida e 40 km/h na volta. A distância total é 2d e o tempo total é d/60 + d/40. A velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total:

velocidade média = 2d / (d/60 + d/40) = 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h

As distâncias d se cancelam, restando exatamente a média harmônica de 60 e 40. Isso funciona porque as distâncias são iguais. Se, em vez disso, os tempos fossem iguais — dirigir a 60 km/h por uma hora e depois a 40 km/h por uma hora —, a média aritmética de 50 km/h seria a correta. Qual média é a adequada depende inteiramente de qual quantidade se mantém constante.

A desigualdade MA–MG–MH

Para qualquer lista de números positivos, as três médias pitagóricas são ordenadas:

média aritmética ≥ média geométrica ≥ média harmônica

A igualdade só ocorre quando todos os valores são idênticos. Para os valores 2, 4, 8 a média aritmética é cerca de 4,667, a geométrica é 4 e a harmônica é cerca de 3,429 — uma ilustração clara de MA ≥ MG ≥ MH. As diferenças aumentam conforme os dados ficam mais dispersos, de modo que a distância entre as três médias é, em si, uma medida aproximada da dispersão.

Essa ordem decorre da convexidade das funções inverso e logaritmo e é uma das desigualdades clássicas da matemática.

Por que todos os valores devem ser positivos

A média harmônica é construída a partir de inversos. Um valor igual a zero não tem inverso, de modo que a fórmula fica indefinida. Uma mistura de valores positivos e negativos pode quase cancelar os inversos e levar a média harmônica a um número arbitrariamente grande ou sem sentido. Em toda aplicação real — velocidades, taxas, preços, frequências — as grandezas são inerentemente positivas, de modo que exigir valores maiores que zero corresponde à prática.

Relação com outras médias

A média harmônica é uma das três médias pitagóricas:

• Média aritmética (MA): a média comum, apropriada para grandezas aditivas.
• Média geométrica (MG): a raiz n-ésima do produto, apropriada para grandezas multiplicativas como fatores de crescimento.
• Média harmônica (MH): o inverso da média dos inversos, apropriada para taxas e razões.

Esta calculadora calcula as três para que você possa compará-las diretamente e confirmar a ordem MA ≥ MG ≥ MH com seus próprios dados.

Calculadoras relacionadas

• Média Geométrica — raiz n-ésima do produto, para dados multiplicativos
• Calculadora de Média, Mediana e Moda — média aritmética, mediana, moda e amplitude
• Calculadora de Média Ponderada — média com pesos por valor
• Calculadora de Estatística Descritiva — estatística descritiva completa de um conjunto de dados