Última atualização: 2026-07-01

A regra de Simpson

A regra de Simpson estima uma integral definida substituindo a curva por parábolas em vez de segmentos de reta. Cada par de faixas vizinhas é ajustado por uma parábola que passa por três pontos, e a integral é aproximada pela área total sob essas parábolas. Como uma parábola acompanha a curvatura que uma corda reta perde, a regra de Simpson costuma ser bem mais precisa que a dos trapézios com o mesmo esforço de amostragem.

Divida o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais de largura h = (b − a) / n, com n par. Isso cria n + 1 pontos da malha x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Amostrar a função em cada ponto dá os valores f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), e a estimativa é:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Esta calculadora trabalha a partir de valores amostrados da função, não de uma fórmula digitada: você fornece f nos n + 1 pontos igualmente espaçados, exatamente a situação quando os dados vêm de medições ou de uma tabela.

Por que os pesos são 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1

Tome um bloco de três pontos [x₀, x₁, x₂] com espaçamento h. A única parábola que passa por eles, integrada de forma exata sobre o bloco, dá

(h/3)·(f₀ + 4f₁ + f₂)

então o ponto médio do bloco leva peso 4 e as duas extremidades peso 1. Ao unir blocos consecutivos — [x₀, x₁, x₂], [x₂, x₃, x₄], etc. —, cada ponto médio mantém seu peso 4, enquanto cada ponto de fronteira compartilhado pertence a dois blocos e ganha peso 1 + 1 = 2. As duas extremidades externas pertencem a um único bloco e ficam com peso 1. Agrupando os termos surge o padrão 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1, tudo multiplicado por h/3. É exatamente esse emparelhamento de blocos que faz n precisar ser par.

Exemplo resolvido

Estime ∫₀¹ x² dx com n = 4 subintervalos. O passo é h = (1 − 0) / 4 = 0,25 e os pontos da malha são 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Os valores amostrados de x² são:

Aplique a regra com os pesos 1, 4, 2, 4, 1:

∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 4(0,0625) + 2(0,25) + 4(0,5625) + 1] ∫ ≈ (0,25/3)·[0 + 0,25 + 0,5 + 2,25 + 1] = (0,25/3)·4 = 1/3

O resultado é exatamente 1/3, o valor verdadeiro da integral. Não é sorte: a regra de Simpson integra de forma exata qualquer polinômio de grau até três, então uma quadrática como x² é capturada com erro zero, não importa quantas faixas se usem.

Como o erro se comporta

A regra de Simpson é de quarta ordem: reduzir h pela metade corta o erro em cerca de dezesseis vezes. Para uma função com quarta derivada contínua, o erro sobre [a, b] é

E = −((b − a)·h⁴/180)·f⁽⁴⁾(ξ)

para algum ξ do intervalo. Duas consequências seguem daí:

• Como o erro depende da quarta derivada, qualquer polinômio de grau três ou menor é integrado de forma exata — sua quarta derivada é zero.
• Para curvas suaves, o fator h⁴ derruba o erro muito rápido, de modo que um número modesto de faixas costuma bastar para alta precisão.

A regra de Simpson versus a dos trapézios

A regra dos trapézios une os pontos com segmentos de reta, então seu erro é proporcional a h² (segunda ordem). A de Simpson ajusta parábolas e alcança h⁴ (quarta ordem), convergindo bem mais rápido com o mesmo número de pontos. As contrapartidas:

• A regra de Simpson exige um número par de subintervalos, enquanto a dos trapézios funciona com qualquer n.
• Com dados ruidosos ou irregulares, forçar parábolas pode amplificar o ruído; aí a dos trapézios às vezes é mais robusta.

Regra prática: recorra à de Simpson quando a função for suave e você quiser alta precisão com o mesmo esforço; use a dos trapézios para estimativas rápidas, dados ruidosos ou quando n precisar ser ímpar.

Notas práticas

• Apenas subintervalos pares. A regra de Simpson 1/3 emparelha as faixas, então n deve ser par. A calculadora sinaliza um n ímpar.
• Case a quantidade. Com n subintervalos você deve fornecer exatamente n + 1 valores, um por ponto da malha. A calculadora sinaliza uma divergência para que o espaçamento fique uniforme.
• Mantenha a ordem. Liste os valores de x₀ = a até xₙ = b. Os pontos interiores de índice ímpar e par têm pesos diferentes, então a ordem importa.
• Limites invertidos. Se a for maior que b, o passo fica negativo e o resultado muda de sinal — coerente com a convenção de que trocar os limites de uma integral muda seu sinal.
• Somente espaçamento igual. Esta é a regra de Simpson em malha uniforme. Dados com espaçamento desigual precisam de uma fórmula de quadratura mais geral.

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