Última atualização: 2026-07-01

A regra dos trapézios

A regra dos trapézios estima uma integral definida substituindo a curva entre os pontos amostrados por segmentos de reta. Cada faixa vira um trapézio, e a integral é aproximada pela área total desses trapézios.

Ao dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos de mesma largura h = (b − a) / n, obtêm-se n + 1 pontos da malha x₀ = a, x₁, x₂, …, xₙ = b. Avaliando a função em cada ponto, temos os valores f(x₀), f(x₁), …, f(xₙ), e a estimativa é:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]

Esta calculadora trabalha com valores amostrados da função, e não com uma fórmula digitada: você fornece f nos n + 1 pontos igualmente espaçados, exatamente a situação quando os dados vêm de medições ou de uma tabela.

Por que os pesos são 1, 2, 2, …, 2, 1

Um único subintervalo [xᵢ, xᵢ₊₁] forma um trapézio de lados paralelos f(xᵢ) e f(xᵢ₊₁) e largura h. Sua área é (h/2)·(f(xᵢ) + f(xᵢ₊₁)). Ao somar as áreas dos n trapézios, cada ponto interior é compartilhado por dois trapézios vizinhos e aparece duas vezes, enquanto os dois extremos aparecem uma só vez. Daí o padrão de pesos 1, 2, 2, …, 2, 1, todos multiplicados por h/2. Uma reescrita prática, usada internamente, é

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/2)·[2·(f₀ + f₁ + … + fₙ) − f₀ − fₙ],

que soma cada valor duas vezes e depois subtrai os extremos uma vez.

Exemplo resolvido

Estime ∫₀¹ x² dx com n = 4 subintervalos. O passo é h = (1 − 0) / 4 = 0,25 e os pontos da malha são 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. Os valores de x² são:

Aplicando a regra:

∫ ≈ (0,25/2)·[0 + 2(0,0625) + 2(0,25) + 2(0,5625) + 1] ∫ ≈ 0,125·[0 + 0,125 + 0,5 + 1,125 + 1] = 0,125·2,75 = 0,34375

O valor exato é 1/3 ≈ 0,33333, então quatro faixas já ficam a cerca de 0,01. Refinando para n = 10 dá 0,335 e para n = 100, 0,333325 — o erro cai aproximadamente em proporção a h².

Como o erro se comporta

A regra dos trapézios é de segunda ordem: reduzir h à metade corta o erro por um fator de aproximadamente quatro. Para uma função duas vezes derivável, o erro em [a, b] é

E = −((b − a)·h²/12)·f″(ξ)

para algum ξ no intervalo. Do sinal da segunda derivada seguem duas consequências:

• Numa curva côncava para cima (f″ > 0), as cordas ficam acima da curva, então a regra superestima a integral.
• Numa curva côncava para baixo (f″ < 0), as cordas ficam abaixo, então a subestima.

Para retas f″ = 0, portanto a regra dos trapézios é exata — cada faixa é um trapézio verdadeiro, sem curvatura a perder.

Regra dos trapézios versus regra de Simpson

A regra de Simpson ajusta uma parábola a cada par de subintervalos em vez de um segmento de reta. Seu erro é proporcional a h⁴, então, para funções suaves, converge bem mais rápido com o mesmo número de pontos. Em contrapartida, Simpson exige um número par de subintervalos, enquanto os trapézios funcionam com qualquer n. A regra dos trapézios também é mais robusta com dados ruidosos ou irregulares, em que forçar uma parábola sobre pontos dispersos pode amplificar o ruído.

Regra prática: trapézios para estimativas rápidas, dados tabulados ou quando n precisar ser ímpar; Simpson quando a função for suave e você quiser alta precisão com a mesma amostragem.

Notas práticas

• Faça a contagem bater. Com n subintervalos você deve fornecer exatamente n + 1 valores, um por ponto da malha. A calculadora aponta divergências para que o espaçamento permaneça uniforme.
• Mantenha a ordem. Liste os valores de x₀ = a a xₙ = b. Os extremos são ponderados de forma diferente dos pontos interiores, então a ordem importa.
• Limites invertidos. Se a for maior que b, o passo fica negativo e o resultado muda de sinal — em linha com a convenção de trocar os limites de integração.
• Apenas espaçamento uniforme. Esta é a regra dos trapézios em malha uniforme. Dados desigualmente espaçados exigem a fórmula geral com larguras por faixa.

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