Última atualização: 2026-07-01

Teste qui-quadrado de independência

O teste qui-quadrado de independência pergunta se duas variáveis categóricas medidas nos mesmos sujeitos estão relacionadas ou são independentes. Os dados vivem em uma tabela de contingência: cada célula contém o número de observações que caem em uma combinação de categorias — para uma tabela 2×2, duas categorias por variável. O teste compara as frequências que você realmente observou com as que esperaria se as duas variáveis não tivessem relação, e retorna uma estatística, seus graus de liberdade e um valor-p. É a ferramenta padrão para perguntas como: um tratamento está associado a um desfecho, uma preferência depende do grupo de pertencimento, ou duas respostas de uma pesquisa se movem juntas?

Frequências esperadas sob independência

Se duas variáveis são independentes, a proporção da amostra em qualquer linha não deveria depender de qual coluna você olha. Isso fixa o que cada célula deveria conter. A frequência esperada de uma célula é seu total de linha vezes seu total de coluna, dividido pelo total geral:

$E_{ij} = \frac{(\text{total linha } i)\,(\text{total coluna } j)}{N}$

onde $N$ é o número total de observações. É simplesmente a fração da amostra na linha $i$ multiplicada pela fração na coluna $j$, reescalada de volta a $N$. É essencial que as frequências esperadas venham das próprias margens da tabela — você não as fornece, e é isso que separa este teste do de aderência.

A estatística

O teste resume a distância entre observação e expectativa com a estatística de Pearson:

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

somada sobre cada célula, onde $O$ é uma frequência observada e $E$ sua frequência esperada. Cada desvio ao quadrado é dividido pela frequência esperada, de modo que uma diferença de dez pesa muito quando se esperavam cinco, mas pouco quando se esperavam cinco mil. A soma dá um único número que cresce à medida que a tabela se afasta da independência. Quando as frequências observadas igualam exatamente as esperadas, cada termo é zero e $\chi^2 = 0$.

Para uma tabela 2×2 a soma inteira se reduz a um atalho algébrico compacto. Rotulando as células como

a estatística vale

$\chi^2 = \frac{N\,(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Os quatro fatores no denominador são os dois totais de linha e os dois totais de coluna. O termo do produto cruzado $ad - bc$ mede o quanto a tabela se afasta da proporcionalidade: é zero exatamente quando as linhas são proporcionais, que é o caso da independência perfeita.

Graus de liberdade e o valor-p

A estatística é comparada com uma distribuição qui-quadrado cuja forma é fixada por seus graus de liberdade. Para uma tabela de contingência,

$\text{df} = (r - 1)(c - 1)$

onde $r$ é o número de linhas e $c$ o de colunas. Uma tabela 2×2, portanto, tem um grau de liberdade. Intuitivamente, uma vez fixados os totais de linha e de coluna, preencher uma única célula determina todas as demais, de modo que apenas uma célula é livre para variar.

O valor-p é a probabilidade da cauda superior — a chance de ver uma estatística ao menos tão grande quanto a observada se as duas variáveis fossem independentes. O teste é intrinsecamente unilateral na cauda superior: apenas valores grandes de $\chi^2$ sinalizam associação, enquanto valores pequenos significam que a tabela está próxima da independência. Compare o valor-p com um nível de significância $\alpha$ (comumente cinco por cento). Quando $p < \alpha$, o afastamento da independência é maior do que o ruído amostral explica confortavelmente, e você conclui que as variáveis estão associadas. Quando $p \ge \alpha$, os dados são compatíveis com a independência — o que não é o mesmo que provar que as variáveis não têm relação.

Exemplo resolvido

Suponha que uma clínica registre se os pacientes se recuperaram sob dois tratamentos:

Aqui $a = 30$, $b = 10$, $c = 20$, $d = 40$ e $N = 100$. Usando o atalho,

Com uma tabela 2×2 o teste tem um grau de liberdade. O valor-p da cauda superior para $\chi^2 \approx 16.667$ com um grau de liberdade é cerca de $0.0000446$. Como $p \lt 0.01$, há evidência forte de que a recuperação está associada ao tratamento: pacientes no Tratamento A se recuperaram muito mais do que a independência preveria.

Suposições

A aproximação qui-quadrado repousa em algumas condições. As frequências esperadas devem ser razoavelmente grandes — uma regra prática comum exige que cada frequência esperada seja de ao menos 5. Para uma tabela 2×2 com frequências esperadas pequenas, aplique a correção de continuidade de Yates ou passe ao teste exato de Fisher. As observações devem ser independentes, cada sujeito contado uma vez e caindo em exatamente uma célula, de modo que o teste não se aplica a medidas pareadas ou repetidas (use o teste de McNemar nesses casos). Por fim, o teste trabalha com frequências brutas, não com percentuais ou proporções: converta quaisquer taxas em frequências antes de inseri-las.

Para comparar uma variável categórica com uma distribuição hipotética fixa em vez de duas variáveis entre si, veja o Teste qui-quadrado de aderência; para converter uma estatística z em uma probabilidade de cauda, veja Calculadora de Valor-p a partir do Escore Z.