최종 업데이트: 2026-06-23

베이즈 정리

베이즈 정리는 새로운 증거가 주어졌을 때 확률을 갱신하는 규칙입니다. 어떤 일이 얼마나 일어날지에 대한 처음 믿음을 출발점으로 삼아, 증거가 어느 한쪽을 얼마나 강하게 가리키는지를 결합하여 수정된 믿음을 돌려줍니다. 이 계산기는 가장 흔한 사례인 진단 검사에 이 규칙을 적용해, 질환의 유병률과 검사의 정확도를 양성 결과가 실제일 확률로 바꿔 줍니다.

조건부확률

조건부확률 $P(A|B)$는 $B$가 관측되었다는 조건에서 $A$가 참일 확률입니다. 단순한 확률 $P(A)$와 다른 이유는 $B$의 관측이 정보를 담고 있기 때문입니다. 양성 의학 검사가 질병을 확실하게 만들지는 못하지만, 검사가 얼마나 우수한지와 그 질병이 애초에 얼마나 흔했는지에 따라 정해지는 만큼 확률을 끌어올립니다. 조건부 확률 및 베이즈 정리 계산기 계산기는 $P(A \cap B)$와 $P(B)$를 알고 있을 때 그 값으로 직접 계산합니다.

계산식

베이즈 정리는 두 방향의 조건부확률을 이어 줍니다.

$P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$

각 항에는 고유한 이름이 있습니다.

• 사전확률 $P(A)$는 증거를 보기 전 $A$의 확률로, 검사에서는 질환의 유병률입니다.
• 가능도 $P(B|A)$는 $A$가 참일 때 증거가 관측될 확률로, 검사의 민감도 즉 참양성률입니다.
• 주변확률 $P(B)$는 $A$가 참인 경우와 그렇지 않은 경우를 모두 아울러 증거가 관측될 전체 확률입니다. $P(B|A)\,P(A) + P(B|\lnot A)\,P(\lnot A)$로 전개되며, 여기서 $P(B|\lnot A)$는 거짓양성률입니다.
• 사후확률 $P(A|B)$는 결과값으로, 증거를 본 뒤 $A$의 확률입니다.

기저율 오류

검사 결과를 읽을 때 가장 흔한 잘못은 검사의 정확도와 양성이 실제일 확률을 혼동하는 것입니다. 둘은 다른 질문이며, 질환이 드물 때는 답이 크게 달라집니다. 민감도 90%, 특이도 95%인 검사는 믿을 만해 보이지만, 100명 중 1명만 질환을 가진다면 작은 거짓양성률이 건강한 99명에게 적용되고, 그 수가 워낙 많아 거짓경보가 참양성을 몇 배나 앞지릅니다. 이렇게 유병률을 무시하는 것을 기저율 오류라고 합니다.

계산 예시

어떤 질환이 검사 대상 집단의 1%에서 발생하고, 검사가 실제 환자의 90%를 잡아내며, 건강한 사람의 5%를 잘못 양성으로 표시한다고 합시다. 사전확률은 유병률 0.01, 민감도는 0.90, 거짓양성률은 0.05입니다.

양성 결과는 질환의 확률을 1%에서 약 15%로 끌어올립니다. 검사가 확률을 열다섯 배나 움직였지만, 단 한 번의 양성만으로는 여전히 참보다 거짓일 가능성이 큽니다. 드문 질환의 선별검사 뒤에 더 특이도가 높은 2차 검사를 이어서 시행하고, 첫 양성을 확정적으로 받아들이지 않는 까닭이 여기에 있습니다.

확장

같은 정리를 승산 형태로도 쓸 수 있는데, 이 편이 갱신 과정을 따져 보기 쉬울 때가 많습니다. 사후 승산은 사전 승산에 가능도비 $P(B|A) / P(B|\lnot A)$를 곱한 값과 같습니다. 위 예시에서 사전 승산은 1 대 99이고 가능도비는 18이므로, 사후 승산은 18 대 99 즉 약 15%로 같은 답을 얻습니다. 밀접하게 관련된 오즈비 계산는는 이런 두 비를 직접 비교합니다.

베이즈 정리는 순차적 갱신도 지원합니다. 한 번 검사한 뒤의 사후확률은 다음 검사의 사전확률이 됩니다. 서로 독립인 양성 검사 두 건을 차례로 적용하면 각각을 따로 적용할 때보다 확률이 훨씬 높아지는데, 확진 검사가 신뢰를 얻는 방식이 바로 이것입니다. 증거가 한 조각씩 쌓일 때면 언제나 같은 규칙이 각 단계에 적용되며, 앞선 결론이 다음 단계의 출발점이 됩니다.