최종 업데이트: 2026-07-01

이 계산기가 하는 일

이 계산기는 2×2 행렬의 고윳값과 고유벡터를 구합니다. A = [[a, b], [c, d]] 의 네 성분을 입력하면 대각합, 행렬식, 특성방정식, 두 고윳값(실수 또는 복소수), 그리고 각 실수 고윳값에 대응하는 고유벡터를 풀이 과정과 함께 돌려줍니다.

행렬 A 의 고유벡터는 A 가 작용해도 방향이 바뀌지 않는 0이 아닌 벡터입니다. 이때 크기가 변하는 배율이 고윳값입니다.

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

특성방정식

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 를 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 으로 고쳐 씁니다. 0이 아닌 해가 존재하는 것은 행렬 $A - \lambda I$ 가 특이행렬일 때, 즉 그 행렬식이 0이 될 때뿐입니다.

$\det(A - \lambda I) = 0$

2×2 행렬에서는 이것이 $\lambda$ 에 대한 이차방정식으로 전개됩니다.

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

여기서 대각합은 $\operatorname{tr}A = a + d$, 행렬식은 $\det A = ad - bc$ 입니다. 이 두 불변량만으로 두 고윳값이 모두 결정됩니다.

고윳값 풀기

특성방정식에 근의 공식을 적용하면 다음과 같습니다.

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

근호 안의 양 $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$ 이 판별식입니다. 그 부호가 고윳값의 성질을 결정합니다.

• $\Delta > 0$: 서로 다른 두 실수 고윳값.
• $\Delta = 0$: 중복된 하나의 실수 고윳값.
• $\Delta < 0$: 켤레 복소수 쌍 $\alpha \pm \beta i$.

풀이 예제

대칭행렬 [[2, 1], [1, 2]] 를 생각해 봅니다.

먼저 대각합과 행렬식입니다.

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

특성방정식과 그 판별식은 다음과 같습니다.

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

$\Delta > 0$ 이므로 고윳값은 실수입니다.

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

고유벡터 구하기

각 고윳값 $\lambda$ 에 대해 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 을 풉니다. 2×2 행렬에서는 두 행이 비례하므로 한 행만으로 방향이 정해집니다. $b \neq 0$ 이면 $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ 가 확실한 선택입니다.

$\lambda_1 = 3$ 일 때.

$$$$

$\lambda_2 = 1$ 일 때.

$$$$

벡터를 배로 늘려도 방향은 변하지 않으므로, 이들의 0이 아닌 배수도 모두 고유벡터입니다. 실제로 $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$, $A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$ 가 성립함을 확인할 수 있습니다.

복소수인 경우

$\Delta < 0$ 이면 근호 안이 허수가 되어 고윳값은 켤레 복소수 쌍이 됩니다.

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

회전 행렬이 대표적인 예입니다. 90도 회전 [[0, −1], [1, 0]] 은 대각합이 0, 행렬식이 1이므로 $\Delta = 0 - 4 = -4$ 이고 고윳값은 $\pm i$ 입니다. 회전은 어떤 실수 방향도 그대로 두지 않으며, 바로 그 때문에 실수 고유벡터가 없고 고유벡터는 복소평면에 존재합니다.

대각합·행렬식과 고윳값의 관계

두 불변량은 고윳값과 직접 연결되어 빠른 검산에 쓸 수 있습니다.

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

위 예제에서 $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$, $3 \cdot 1 = 3 = \det A$ 입니다. 고윳값에서 대각합과 행렬식이 재현되지 않는다면 어딘가에서 계산 실수가 생긴 것입니다.

고윳값의 활용

• 대각화: 서로 다른 고윳값을 가진 행렬은 $A = PDP^{-1}$ 로 쓸 수 있으며, $D$ 는 고윳값을 담은 대각행렬이라 거듭제곱 $A^n$ 을 쉽게 계산할 수 있습니다.
• 안정성: 계 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$ 에서 고윳값 실수부의 부호가 해의 증가·감쇠를 결정합니다.
• 주방향: 대칭행렬에서는 고유벡터가 서로 직교하여 늘어남의 축을 나타내며, 이는 주성분 분석과 이차형식의 기하학의 바탕이 됩니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

고윳값과 고유벡터란 무엇입니까

행렬 A 의 고유벡터는 A 가 작용해도 방향이 바뀌지 않는 0이 아닌 벡터 v 로, Av = λv 를 만족합니다. 스칼라 λ 가 고윳값이며, 그 방향으로 벡터가 얼마나 늘어나는지(λ > 1), 줄어드는지(0 < λ < 1), 뒤집히는지(λ < 0)를 나타냅니다.

2×2 행렬의 고윳값은 어떻게 구합니까

특성방정식 det(A − λI) = 0 을 풉니다. 2×2 행렬에서는 λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0, 즉 λ² − (대각합)λ + det = 0 으로 전개됩니다. 근의 공식을 적용하면 λ = (대각합 ± √((대각합)² − 4·det)) / 2 입니다.

고윳값이 복소수라는 것은 무슨 뜻입니까

판별식 (대각합)² − 4·det 이 음수이면 두 고윳값은 켤레 복소수 α ± βi 가 됩니다. 평면을 회전시키는 행렬, 예를 들어 많은 2×2 회전 행렬에서 일어납니다. 보존되는 실수 방향이 없으므로 실수 고유벡터는 존재하지 않습니다.

고윳값을 안 뒤 고유벡터는 어떻게 구합니까

고윳값 λ 를 A − λI 에 대입하고 (A − λI)v = 0 을 풉니다. 2×2 행렬에서는 두 행이 비례하므로 한 식만으로 방향이 정해집니다. b ≠ 0 이면 v = (b, λ − a), c ≠ 0 이면 v = (λ − d, c) 가 편리합니다. 0이 아닌 배수도 모두 고유벡터입니다.