최종 업데이트: 2026-07-01

이 계산기가 하는 일

이 계산기는 정사각행렬의 행렬식을 구합니다. 행렬식은 행렬이 공간을 얼마나 늘리고 줄이며 뒤집는지를 담은 하나의 수입니다. 2×2 또는 3×3 모드를 선택하고 성분을 입력하면 행렬식과 단계별 풀이가 함께 갱신됩니다.

행렬 A의 행렬식은 $\det A$ 또는 $|A|$로 씁니다.

2×2 행렬식

2×2 행렬에서 행렬식은 주대각선의 곱에서 반대각선의 곱을 뺀 값입니다.

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

풀이 예 (2×2)

행렬 [[1, 2], [3, 4]]를 봅시다.

$\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

부호가 음수이므로 이 변환은 방향을 뒤집고, 절댓값 2는 면적을 두 배로 만든다는 뜻입니다.

여인수 전개로 구하는 3×3 행렬식

3×3 행렬은 첫 행에 대해 전개합니다. 첫 행의 각 성분에, 그 성분의 행과 열을 지운 뒤 남는 2×2 소행렬의 행렬식을 곱하고, + − + 부호를 번갈아 붙입니다.

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$$

여기서 소행렬식은 다음과 같습니다.

$$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$$

풀이 예 (3×3)

행렬 [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]]를 봅시다.

$M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54$

$M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18$

$M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36$

이제 첫 행 성분과 번갈아 붙는 부호로 결합합니다.

$\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306$

사뤼스 규칙 (3×3 지름길)

3×3 행렬에만 쓰는 다른 방법으로 사뤼스 규칙이 있습니다. 첫 두 열을 행렬 오른쪽에 다시 적고, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 곱 세 개를 더한 뒤, 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는 세 개를 뺍니다.

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

이는 여인수 전개와 같은 결과를 줍니다. 사뤼스 규칙은 손으로 빠르게 적용할 수 있지만 3×3을 넘어서는 일반화되지 않으므로, 먼저 가르치는 방법은 여인수 전개입니다.

행렬식이 0일 때

행렬식이 0이면 특이행렬임을 뜻합니다.

• 행(과 열)이 일차종속입니다.
• 변환이 공간을 직선이나 평면으로 눌러 한 차원을 잃습니다.
• 역행렬이 없습니다.
• A가 특이행렬인 선형 연립방정식 Ax = b는 해가 없거나 무수히 많습니다.

예를 들어 [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]는 각 행이 위 행에서 등차로 변해 일차종속이 되므로 행렬식이 0입니다.

기하학적 의미

행렬식은 부호 있는 확대율을 잰 값입니다.

• 2×2: 행렬식은 두 열벡터가 이루는 평행사변형의 부호 있는 넓이와 같습니다. 행렬식이 5이면 넓이가 5배, −5이면 넓이가 5배가 되며 방향도 뒤집힙니다.
• 3×3: 행렬식은 세 열벡터가 이루는 평행육면체의 부호 있는 부피와 같습니다.
• 절댓값이 1이면 넓이나 부피가 보존되고(회전 또는 반사), 0이면 도형이 넓이·부피 0으로 눌립니다.

유용한 성질

• $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$ — 곱의 행렬식은 행렬식의 곱입니다.
• $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$ — 전치해도 행렬식은 변하지 않습니다.
• 두 행을 바꾸면 행렬식의 부호가 뒤집힙니다.
• 한 행에 스칼라 $k$를 곱하면 행렬식이 $k$배가 됩니다.
• 삼각행렬의 행렬식은 대각 성분들의 곱과 같습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

행렬식이란 무엇인가요?

행렬식은 정사각행렬로부터 계산되는 하나의 수로, 그 행렬이 나타내는 선형변환의 핵심 성질을 요약합니다. 절댓값은 변환이 면적(2×2)이나 부피(3×3)를 얼마나 확대하는지를, 부호는 방향이 보존되는지 뒤집히는지를 나타냅니다. 행렬식이 0이면 그 행렬은 특이행렬이며 역행렬이 없습니다.

행렬식이 0이면 무엇을 뜻하나요?

행렬식이 0이면 그 행렬은 특이행렬입니다. 행(또는 열)이 일차종속이어서 변환이 공간을 더 낮은 차원으로 눌러 버립니다. 특이행렬은 역행렬이 없으며, 계수행렬이 특이한 선형 연립방정식은 해가 없거나 무수히 많습니다.

여인수 전개와 사뤼스 규칙의 차이는 무엇인가요?

둘 다 같은 3×3 행렬식을 줍니다. 여인수 전개는 첫 행의 각 성분에 자신의 2×2 소행렬식을 부호를 번갈아 붙여 곱하며, 어떤 크기로도 일반화됩니다. 사뤼스 규칙은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선 곱 세 개를 더하고 오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는 세 개를 빼는 지름길로, 3×3에서만 통합니다. 이 계산기는 더 큰 행렬에도 적용되는 여인수 전개 방법을 보여 줍니다.

행렬식의 기하학적 의미는 무엇인가요?

2×2 행렬에서 행렬식은 두 열벡터가 이루는 평행사변형의 부호 있는 넓이와 같습니다. 3×3 행렬에서는 세 열벡터가 이루는 평행육면체의 부호 있는 부피와 같습니다. 부호가 음수이면 변환이 방향을 뒤집는 것(반사)을 뜻하고, 절댓값이 1이면 넓이나 부피가 보존됨을 뜻합니다.