최종 업데이트: 2026-07-01

극좌표와 직교좌표

평면 위의 한 점은 동등한 두 가지 방법으로 나타낼 수 있습니다. 직교좌표(데카르트 좌표) (x, y)는 원점에서의 가로·세로 거리를 나타냅니다. 극좌표 (r, θ)는 원점에서의 직선 거리 r와, 점으로 향하는 직선이 x축 양의 방향과 이루는 각도 θ로 나타냅니다. 이 변환기는 두 좌표계를 양방향으로 변환하며, 각도는 도(°) 또는 라디안으로 표시할 수 있습니다.

두 표현은 같은 위치를 가리키며, 어느 쪽이 편한지는 문제에 따라 다릅니다. 직교좌표는 격자·화면·성분별 계산에 적합하고, 극좌표는 회전·원운동처럼 거리와 방향으로 기술되는 대상에 적합합니다.

극좌표에서 직교좌표로

점에서 x축으로 수선을 내리면 직각삼각형이 생깁니다. 반지름 r는 빗변, 각도 θ는 원점 쪽에 있고, 두 변이 그대로 좌표가 됩니다.

• x = r·cos θ
• y = r·sin θ

코사인이 가로 변을, 사인이 세로 변을 주므로 x와 y의 부호는 θ의 사분면에서 자동으로 결정됩니다.

직교좌표에서 극좌표로

반대 방향에서는 삼각형을 거꾸로 따라갑니다. 반지름은 피타고라스 정리로 구한 빗변이고, 각도는 점의 방향입니다.

• r = √(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)

두 인수 아크탄젠트 atan2(y, x)를 arctan(y/x) 대신 쓰는 이유는, 비 y/x만으로는 어떤 점과 그 반대편 점을 구별할 수 없기 때문입니다(같은 몫이 나옵니다). atan2는 x와 y를 따로 다루어 부호를 읽고, −180°에서 180°(라디안이면 −π에서 π)까지 전 범위에서 올바른 사분면의 각도를 돌려줍니다. 또한 x = 0일 때도 정의되어 arctan(y/x)처럼 0으로 나눌 염려가 없습니다.

풀이 예시

문제: 직교좌표의 점 (3, 4)를 극좌표로 변환합니다.

반지름은 원점에서의 거리입니다.

r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

각도는 점의 방향입니다.

θ = atan2(4, 3) ≈ 53.13°

따라서 (3, 4)는 (5, 53.13°)가 됩니다. 역변환으로도 왕복을 확인할 수 있습니다. x = 5·cos 53.13° ≈ 3, y = 5·sin 53.13° ≈ 4.

원점과 각도 범위

극좌표가 유일하게 모호해지는 곳이 원점입니다. r = 0이면 모든 방향이 같은 점이 되므로 θ가 정해지지 않습니다. 원점이 아닌 곳에서는 atan2가 돌려주는 각도가 −180°에서 180° 사이에 있습니다. [0°, 360°) 범위로 각도를 나타내는 관례도 있으므로, 그 범위를 쓰고 싶다면 음의 각도에 360°(또는 2π)를 더하면 같은 방향의 양의 값을 얻습니다.

도와 라디안 중 선택

도와 라디안은 같은 각도를 잽니다. 한 바퀴는 360° = 2π, 180° = π입니다. 도는 기하·측량·항법에서 흔히 쓰이고, 라디안은 미적분과 물리에서 표준입니다. 삼각함수의 도함수가 깔끔해지기 때문입니다. 자료에 맞는 각도 단위를 고르면 라디안과의 변환은 이 도구가 양방향으로 처리합니다.