최종 업데이트: 2026-07-01

균등분포 계산기

연속 균등분포는 가장 단순한 연속 확률 모형입니다. 구간 [a, b] 안의 모든 값이 동일하게 일어나고, 그 밖에서는 아무 일도 일어나지 않습니다. "이 한계들 사이 어딘가, 치우침 없이"라는 상황, 즉 반올림 오차, 고정된 시간 창 안의 무작위 도착 시각, 선분 위의 무작위 점 등을 자연스럽게 나타냅니다. 두 경계와 구간 [c, d]로부터, 이 계산기는 확률밀도, 평균, 분산, 누적 확률 P(X ≤ c), 구간 확률 P(c ≤ X ≤ d)를 돌려줍니다.

균등분포

분포는 두 개의 매개변수로 완전히 정해집니다.

• a — 최솟값, X가 가질 수 있는 가장 작은 값
• b — 최댓값, X가 가질 수 있는 가장 큰 값

확률이 고르게 분배되므로 확률밀도함수는 [a, b]에서 일정하고 그 밖에서는 0입니다.

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b - a} & a \le x \le b \\[6pt] 0 & \text{그 외} \end{cases}$$

밀도는 폭 (b − a)인 구간에서 적분하면 1이 되어야 하므로, 일정한 높이는 정확히 1 / (b − a)로 정해집니다.

누적분포

누적분포함수(CDF)는 X가 어떤 값 x 이하일 확률을 줍니다. 균등분포에서는 a에서 0, b에서 1로 오르는 직선입니다.

$$F(x) = P(X \le x) = \frac{x - a}{b - a}, \quad a \le x \le b$$

a보다 작으면 0, b보다 크면 1입니다. 그래프가 그리는 것은 이 선형 램프입니다.

구간 확률

X가 c와 d 사이에 들어갈 확률은 구간 [c, d]가 전체 폭에서 차지하는 비율입니다.

$$P(c \le X \le d) = F(d) - F(c) = \frac{d - c}{b - a}$$

c나 d가 [a, b] 밖에 있으면 측정 전에 경계로 제한되므로, 확률이 1을 넘는 일은 없습니다.

평균과 분산

분포가 대칭이므로 기댓값은 중점에 있습니다.

$$\mu = \frac{a + b}{2}$$

분산은 퍼짐 정도를 측정합니다. 연속 균등분포에서는 다음과 같습니다.

$$\sigma^2 = \frac{(b - a)^2}{12}$$

따라서 표준편차는 (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a)입니다. 구간 폭을 두 배로 하면 분산은 네 배가 됩니다.

양	공식
밀도 f(x)	1 / (b − a)
평균 μ	(a + b) / 2
분산 σ²	(b − a)² / 12
CDF F(x)	(x − a) / (b − a)

계산 예시

버스가 당신이 도착한 뒤 a = 0분부터 b = 15분 사이에 균등하게 도착한다고 합시다. 대기 시간이 c = 2분에서 d = 5분 사이에 들어갈 확률은 얼마일까요?

먼저 밀도는 다음과 같습니다.

$$f(x) = \frac{1}{15 - 0} = \frac{1}{15} \approx 0.0667$$

구간 확률은 다음과 같습니다.

$$P(2 \le X \le 5) = \frac{5 - 2}{15 - 0} = \frac{3}{15} = 0.2$$

따라서 대기 시간이 그 구간에 들어갈 확률은 20%입니다. 기대 대기 시간은 다음과 같습니다.

$$\mu = \frac{0 + 15}{2} = 7.5 \text{ 분}$$

분산은 다음과 같습니다.

$$\sigma^2 = \frac{(15 - 0)^2}{12} = \frac{225}{12} = 18.75$$

따라서 표준편차는 약 4.33분입니다.

밀도는 확률이 아니다

f(x) = 1 / (b − a) 값은 확률이 아니라 밀도이며, 구간이 좁으면 1을 넘을 수 있습니다. a = 0, b = 0.5에서는 밀도가 2입니다. 이는 괜찮습니다. 밀도는 폭을 곱해야 비로소 확률이 됩니다. 하나의 정확한 값이 나올 확률은 0이므로, P(c ≤ X ≤ d)는 P(c < X < d)와 같고, 끝점은 아무것도 기여하지 않습니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

연속 균등분포란 무엇인가요?

연속 균등분포는 구간 [a, b] 안의 모든 값에 같은 확률을 부여하고, 그 밖에서는 확률이 0인 분포입니다. 밀도가 평탄하므로 같은 폭을 가진 두 부분 구간은 동일하게 일어납니다. 측정의 반올림 오차나 고정된 시간 창 안의 무작위 도착 시각처럼, 알려진 한계 안에서 어디든 똑같이 일어날 수 있는 상황을 나타냅니다.

여기서 PDF와 CDF의 차이는 무엇인가요?

확률밀도함수(PDF)는 일정하며 f(x) = 1 / (b − a)로, 확률이 아니라 밀도를 나타냅니다. 누적분포함수(CDF) F(x) = (x − a) / (b − a)는 a에서 0, b에서 1로 오르는 직선으로, X가 x 이하일 확률을 줍니다. 구간 확률 P(c ≤ X ≤ d)는 F(d) − F(c)와 같습니다.

균등분포의 평균과 분산은 어떻게 계산하나요?

분포가 대칭이므로 평균은 구간의 중점 μ = (a + b) / 2입니다. 분산은 σ² = (b − a)² / 12이고, 따라서 표준편차는 (b − a) / √12 ≈ 0.2887 × (b − a)입니다. 구간을 넓히면 분산은 제곱으로 커집니다.

하나의 정확한 값이 나올 확률은 얼마인가요?

균등분포를 포함한 모든 연속분포에서 하나의 정확한 값이 나올 확률은 0입니다. 확률을 갖는 것은 구간뿐입니다. 그래서 P(c ≤ X ≤ d)는 구간의 폭을 사용합니다. 끝점 c와 d 자체는 기여하지 않으므로 P(c ≤ X ≤ d)는 P(c < X < d)와 같습니다.