آخر تحديث: 2026-05-19

تعريف طول القوس

طول القوس هو المسافة المقاسة على طول قوس دائري بين نقطتين. يعتمد على قيمتين: نصف القطر r للدائرة، والزاوية المركزية θ. يظهر هذا المفهوم في الهندسة والتصميم الميكانيكي والعمارة، فضلاً عن مناهج الرياضيات في المدارس.

تحسب هذه الآلة ثلاث قيم من r وθ:

• طول القوس s — المسافة المنحنية على طول محيط الدائرة
• طول الوتر c — المسافة المستقيمة بين الطرفين
• نسبة القوس من المحيط f — ما يمثله القوس من الدائرة الكاملة

صيغة طول القوس

$s = r \cdot \theta$

يجب أن تُعبَّر θ بـالراديان. تنبثق الصيغة من تعريف الراديان: الراديان الواحد هو الزاوية التي يقابلها قوس يساوي نصف القطر.

اشتقاق الصيغة

محيط الدائرة الكاملة 2πr (عند θ = 2π راديان). الجزء المقابل لـ θ/(2π) هو:

$s = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{2\pi} = r\theta$

ومنه تأتي قيمة «نسبة القوس من المحيط» f = θ/(2π).

الحساب بالدرجات

كثيراً ما تُعطى الزوايا بالدرجات. التحويل إلى راديان يكون بـ:

$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{درجة}} \times \frac{\pi}{180}$

أو مباشرةً:

$s = 2\pi r \times \frac{\theta_{\text{درجة}}}{360}$

مثال: r = 8 م، θ = 135°

• التحويل: 135° × π/180 = 3π/4 ≈ 2.356 راديان
• طول القوس: s = 8 × 2.356 ≈ 18.85 م
• النسبة: 135/360 = 0.375 (ثلاثة أثمان الدائرة)

تقبل هذه الحاسبة الدرجات مباشرةً دون تحويل يدوي.

طول الوتر

الوتر هو القطعة المستقيمة التي تصل طرفَي القوس، وهو دائماً أقصر من القوس:

$c = 2r \sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)$

مثال محسوب: r = 10 م، θ = 90° (π/2 راديان)

الكمية	الصيغة	القيمة
طول القوس s	10 × π/2	≈ 15.71 م
طول الوتر c	2 × 10 × sin 45°	= $10\sqrt{2} \approx$ 14.14 م
النسبة f	90 / 360	= 0.25

القوس أطول من الوتر بنحو 11% في هذه الحالة.

زوايا خاصة

الزاوية المركزية	طول القوس	طول الوتر	ملاحظة
60°	πr/3	r	الوتر = نصف القطر (مثلث متساوي الأضلاع)
90°	πr/2	$r\sqrt{2}$	ربع الدائرة
180°	πr	2r	الوتر = القطر
360°	2πr	0	محيط كامل؛ الطرفان يتطابقان

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما صيغة حساب طول القوس؟

طول القوس s = r × θ، حيث θ يُقاس بالراديان. فلو كان نصف القطر 5 م والزاوية 2 راديان، فإن s = 10 م. تنبثق هذه الصيغة من تعريف الراديان: الراديان الواحد هو الزاوية التي يقابلها قوس يساوي طوله نصف القطر. وإن كانت الزاوية بالدرجات، حوّلها أولاً: θ (راديان) = θ (درجة) × π / 180.

كيف أحسب طول القوس بالدرجات؟

استخدم المعادلة s = 2πr × (θ° / 360)، أو حوّل الزاوية إلى راديان ثم طبّق s = r × θ. مثال: r = 10 م، θ = 90° → s = 2π × 10 × 0.25 = 5π ≈ 15.71 م. تقبل هذه الحاسبة الدرجات مباشرةً دون الحاجة إلى تحويل يدوي.

ما الفرق بين طول القوس وطول الوتر؟

طول القوس s = r × θ هو المسافة المنحنية على محيط الدائرة بين نقطتين، أما طول الوتر c = 2r × sin(θ/2) فهو المسافة المستقيمة بين النقطتين ذاتيهما. الوتر دائماً أقصر من القوس أو مساوٍ له. لنصف قطر 10 م وزاوية 90°: القوس ≈ 15.71 م، والوتر = 10√2 ≈ 14.14 م. عند زاوية 180°، يساوي الوتر القطر 2r.

ما العلاقة بين طول القوس ومحيط الدائرة؟

محيط الدائرة C = 2πr هو طول القوس حين تكون الزاوية المركزية 360° (= 2π راديان). وكل قوس يمثّل جزءاً من المحيط: s = C × (θ / 2π). ويُظهر الخرج "نسبة القوس من المحيط" f = θ / 2π هذه النسبة مباشرةً؛ فإن كان f = 0.25 فهذا يعني أن القوس يشكّل ربع الدائرة.