آخر تحديث: 2026-07-01

ما تقوم به هذه الحاسبة

تحدّد هذه الحاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة 2×2. عند إدخال العناصر الأربعة للمصفوفة A = [[a, b], [c, d]]، تعطي الأثر والمحدد والمعادلة المميزة والقيمتين الذاتيتين — حقيقيتين أو مركبتين — ومتجهًا ذاتيًا لكل قيمة ذاتية حقيقية، مع خطوات الحل.

المتجه الذاتي للمصفوفة A هو متجه غير صفري لا يتغير اتجاهه عندما تؤثر المصفوفة عليه. والمعامل الذي يُضرب به المتجه هو القيمة الذاتية:

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}, \qquad \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$

المعادلة المميزة

نعيد كتابة $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ على الصورة $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. ولا يوجد حل غير صفري إلا عندما تكون المصفوفة $A - \lambda I$ شاذّة، أي عندما ينعدم محددها:

$\det(A - \lambda I) = 0$

بالنسبة لمصفوفة 2×2 يتوسع ذلك إلى معادلة من الدرجة الثانية في $\lambda$:

$\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\,\lambda + \det A = 0$

حيث الأثر هو $\operatorname{tr}A = a + d$ والمحدد هو $\det A = ad - bc$. وهذان المقداران الثابتان وحدهما يحددان القيمتين الذاتيتين.

إيجاد القيم الذاتية

بتطبيق القانون العام على المعادلة المميزة:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A \pm \sqrt{(\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A}}{2}$

المقدار تحت الجذر، $\Delta = (\operatorname{tr}A)^2 - 4\det A$، هو المميز، وإشارته تحدد طبيعة القيم الذاتية:

• $\Delta > 0$: قيمتان ذاتيتان حقيقيتان مختلفتان.
• $\Delta = 0$: قيمة ذاتية حقيقية مكررة.
• $\Delta < 0$: زوج مركب مترافق $\alpha \pm \beta i$.

مثال محلول

لنأخذ المصفوفة المتماثلة [[2, 1], [1, 2]].

أولًا الأثر والمحدد:

$\operatorname{tr}A = 2 + 2 = 4, \qquad \det A = (2)(2) - (1)(1) = 3$

المعادلة المميزة ومميزها:

$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0, \qquad \Delta = 4^2 - 4(3) = 4$

بما أن $\Delta > 0$، فالقيمتان الذاتيتان حقيقيتان:

$\lambda_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = 1$

إيجاد المتجهات الذاتية

لكل قيمة ذاتية $\lambda$ نحل $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. في مصفوفة 2×2 يكون الصفان متناسبين، لذا يكفي صف واحد لتحديد الاتجاه. ومن الخيارات الموثوقة $\mathbf{v} = (b,\ \lambda - a)$ ما دام $b \neq 0$.

عند $\lambda_1 = 3$:

$$$$

عند $\lambda_2 = 1$:

$$$$

وأي مضاعف قياسي غير صفري لهذين المتجهين هو أيضًا متجه ذاتي، لأن ضرب المتجه في عدد لا يغيّر اتجاهه. ويؤكد فحص سريع أن $A\mathbf{v}_1 = 3\mathbf{v}_1$ و$A\mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_2$.

الحالة المركبة

عندما يكون $\Delta < 0$ يصبح الجذر تخيليًا، وتشكّل القيمتان الذاتيتان زوجًا مركبًا مترافقًا:

$\lambda = \frac{\operatorname{tr}A}{2} \pm \frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}\,i = \alpha \pm \beta i$

مصفوفات الدوران هي المثال الكلاسيكي. الدوران بزاوية 90° [[0, −1], [1, 0]] أثره 0 ومحدده 1، فيكون $\Delta = 0 - 4 = -4$ والقيمتان الذاتيتان $\pm i$. الدوران لا يُبقي أي اتجاه حقيقي ثابتًا، ولذلك تحديدًا لا توجد متجهات ذاتية حقيقية؛ بل تقع في المستوى المركب.

الأثر والمحدد والقيم الذاتية

يرتبط المقداران الثابتان مباشرة بالقيم الذاتية، مما يتيح تحققًا سريعًا:

$\lambda_1 + \lambda_2 = \operatorname{tr}A, \qquad \lambda_1 \lambda_2 = \det A$

في المثال، $3 + 1 = 4 = \operatorname{tr}A$ و$3 \cdot 1 = 3 = \det A$. وإذا لم تُعِد القيم الذاتية إنتاج الأثر والمحدد، فقد تسرّب خطأ حسابي.

أين تُستخدم القيم الذاتية

• القطرنة: المصفوفة ذات القيم الذاتية المختلفة يمكن كتابتها بالصورة $A = PDP^{-1}$، حيث تحتوي $D$ على القيم الذاتية، مما يجعل حساب القوى $A^n$ سهلًا.
• الاستقرار: في النظام $\mathbf{x}' = A\mathbf{x}$، تحدد إشارات الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية ما إذا كانت الحلول تنمو أم تتلاشى.
• الاتجاهات الرئيسية: في المصفوفات المتماثلة تكون المتجهات الذاتية متعامدة وتحدد محاور التمدد، وهو أساس تحليل المكوّنات الرئيسية وهندسة الصور التربيعية.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما القيم الذاتية والمتجهات الذاتية؟

المتجه الذاتي لمصفوفة A هو متجه غير صفري v لا يتغير اتجاهه عند تأثير A عليه: Av = λv. والعدد القياسي λ هو القيمة الذاتية، ويبيّن مقدار تمدد المتجه (λ > 1) أو انكماشه (0 < λ < 1) أو انقلابه (λ < 0) على امتداد ذلك الاتجاه.

كيف تُحسب القيم الذاتية لمصفوفة 2×2؟

تُحل المعادلة المميزة det(A − λI) = 0. وبالنسبة لمصفوفة 2×2 تتوسع إلى λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0، أي λ² − (الأثر)λ + det = 0. وبتطبيق القانون العام نحصل على λ = (الأثر ± √((الأثر)² − 4·det)) / 2.

ماذا يعني أن تكون القيم الذاتية مركبة؟

عندما يكون المميز (الأثر)² − 4·det سالبًا، تكون القيمتان الذاتيتان مركبتين مترافقتين α ± βi. يحدث ذلك في المصفوفات التي تدوّر المستوى، مثل كثير من مصفوفات الدوران 2×2. ولا توجد متجهات ذاتية حقيقية لأنه لا يُحفظ أي اتجاه حقيقي.

كيف يُوجد المتجه الذاتي بعد معرفة القيمة الذاتية؟

نُعوّض القيمة الذاتية λ في A − λI ونحل (A − λI)v = 0. في مصفوفة 2×2 يكون الصفان متناسبين، لذا تكفي معادلة واحدة لتحديد الاتجاه. ومن الخيارات المريحة v = (b, λ − a) عندما b ≠ 0، أو v = (λ − d, c) عندما c ≠ 0. وأي مضاعف غير صفري هو أيضًا متجه ذاتي.