آخر تحديث: 2026-07-01

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تجد هذه الحاسبة محدِّد مصفوفة مربعة: عدد واحد يلخّص كيف تمدّ المصفوفة الفضاء أو تضغطه أو تقلبه. اختر وضع 2×2 أو 3×3، وأدخل العناصر، فيتحدّث المحدِّد مع اشتقاق خطوة بخطوة.

يُكتب محدِّد المصفوفة A على الصورة $\det A$ أو $|A|$.

محدِّد المصفوفة 2×2

في المصفوفة 2×2، المحدِّد هو حاصل ضرب القطر الرئيسي ناقص حاصل ضرب القطر الثانوي:

$$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$$

مثال محلول (2×2)

لنأخذ المصفوفة [[1, 2], [3, 4]]:

$\det A = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$

تدل الإشارة السالبة على أن هذا التحويل يعكس الاتجاه، بينما يدل المقدار 2 على أنه يضاعف المساحة.

محدِّد 3×3 بالتوسيع بالعوامل المرافقة

في المصفوفة 3×3 نوسّع على الصف الأول. يُضرب كل عنصر في الصف الأول بمحدِّد القاصِر 2×2 المتبقي بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +:

$$\det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$$

حيث القاصرات هي

$$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}, \quad M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}.$$

مثال محلول (3×3)

لنأخذ المصفوفة [[6, 1, 1], [4, −2, 5], [2, 8, 7]]:

$M_{11} = (-2)(7) - (5)(8) = -14 - 40 = -54$

$M_{12} = (4)(7) - (5)(2) = 28 - 10 = 18$

$M_{13} = (4)(8) - (-2)(2) = 32 + 4 = 36$

نجمع الآن مع عناصر الصف الأول والإشارات المتناوبة:

$\det A = (6)(-54) - (1)(18) + (1)(36) = -324 - 18 + 36 = -306$

قاعدة ساروس (اختصار للـ 3×3)

بديل يصلح للمصفوفات 3×3 فقط هو قاعدة ساروس: انسخ العمودين الأولين إلى يمين المصفوفة، واجمع حواصل ضرب الأقطار الثلاثة من اليسار إلى اليمين، ثم اطرح الثلاثة من اليمين إلى اليسار:

$$\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$$

تعطي النتيجة نفسها التي يعطيها التوسيع بالعوامل المرافقة. قاعدة ساروس سريعة التطبيق يدويًا، لكنها لا تُعمَّم إلى ما بعد 3×3، ولذلك يُدرَّس التوسيع بالعوامل المرافقة أولًا.

عندما يكون المحدِّد صفرًا

المحدِّد الصفري يدل على مصفوفة شاذة:

• صفوفها (وأعمدتها) مرتبطة خطيًا.
• يُسقِط التحويل الفضاء على مستقيم أو مستوٍ، فيفقد بُعدًا.
• لا يوجد للمصفوفة معكوس.
• نظام خطي Ax = b بمصفوفة A شاذة إمّا ألّا يكون له حل أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول.

على سبيل المثال، المصفوفة [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] محدِّدها صفر لأن كل صف يمثّل خطوة حسابية عن الصف الذي فوقه، مما يجعل الصفوف مرتبطة خطيًا.

المعنى الهندسي

يقيس المحدِّد تكبيرًا ذا إشارة:

• 2×2: يساوي المحدِّد المساحة ذات الإشارة لمتوازي الأضلاع الذي يكوّنه متجها العمودين. محدِّد قيمته 5 يعني أن المساحات تُكبَّر بـ 5، و−5 يعني تكبيرها بـ 5 مع عكس الاتجاه.
• 3×3: يساوي المحدِّد الحجم ذا الإشارة لمتوازي السطوح الذي تكوّنه الأعمدة الثلاثة.
• المقدار 1 يعني أن المساحة أو الحجم محفوظ (دوران أو انعكاس)، والمقدار 0 يعني أن الشكل يُفلطح إلى مساحة أو حجم صفري.

خصائص مفيدة

• $\det(AB) = \det(A)\,\det(B)$ — محدِّد الجداء يساوي جداء المحدِّدات.
• $\det(A^{\mathsf{T}}) = \det(A)$ — النقل لا يغيّر المحدِّد.
• تبديل صفين يعكس إشارة المحدِّد.
• ضرب صف في عدد سُلَّمي $k$ يضرب المحدِّد في $k$.
• محدِّد المصفوفة المثلثية يساوي جداء عناصر قطرها.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما هو محدِّد المصفوفة؟

المحدِّد عدد واحد يُحسب من مصفوفة مربعة ويلخّص خصائص أساسية للتحويل الخطي الذي تمثّله. قيمته المطلقة تبيّن مقدار تكبير التحويل للمساحة (2×2) أو الحجم (3×3)، وإشارته تبيّن إذا كان الاتجاه محفوظًا أم معكوسًا. المحدِّد المساوي للصفر يعني أن المصفوفة شاذة ولا يوجد لها معكوس.

ماذا يعني أن يكون المحدِّد صفرًا؟

المحدِّد الصفري يعني أن المصفوفة شاذة: صفوفها (أو أعمدتها) مرتبطة خطيًا، فيُسقِط التحويل الفضاء إلى بُعد أدنى. المصفوفة الشاذة ليس لها معكوس، ونظام المعادلات الخطية الذي مصفوفة معاملاته شاذة إمّا ألّا يكون له حل أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول.

ما الفرق بين التوسيع بالعوامل المرافقة وقاعدة ساروس؟

كلاهما يعطي المحدِّد 3×3 نفسه. التوسيع بالعوامل المرافقة يضرب كل عنصر في الصف الأول بمحدِّد قاصره 2×2 مع تناوب الإشارات، ويُعمَّم على أي حجم.

أمّا قاعدة ساروس فهي اختصار يجمع حواصل ضرب الأقطار الثلاثة من اليسار إلى اليمين ويطرح الثلاثة من اليمين إلى اليسار، وتعمل فقط مع مصفوفات 3×3. تعرض هذه الحاسبة طريقة العوامل المرافقة لأنها تمتد إلى المصفوفات الأكبر.

ماذا يعني المحدِّد هندسيًا؟

في المصفوفة 2×2 يساوي المحدِّد المساحة ذات الإشارة لمتوازي الأضلاع الذي يكوّنه متجها العمودين. وفي المصفوفة 3×3 يساوي الحجم ذا الإشارة لمتوازي السطوح الذي تكوّنه الأعمدة الثلاثة. الإشارة السالبة تعني أن التحويل يعكس الاتجاه (انعكاس)، والقيمة المطلقة المساوية لواحد تعني أن المساحة أو الحجم محفوظ.